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1、10.2 二元函数的极限与连续性,与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数,的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不,会出现的.,一、二元函数的极限,二、累次极限,1、二元函数的极限,一、二元函数的极限,时, 都有,常写作,例1 依定义验证,证 因为,不妨先限制在点(2, 1)的方邻域,内来讨论, 于是有,当,时, 就有,这就证得,所以,例2 设,证明,证 (证法一),可知,故,注意 不要把上面的估计式错写成：,而并不要求,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结原则(而且证明方法也相类
2、似).,下面三个例子是它们的应用,存在极限( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ),解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0),这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时,时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线,存在极限,解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿,的极限,分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路,这就达到了预期的目的,( 非正常极限 ) 的定义,或,仿此可类似地定义：,证 此函数的图象见图16 -16.,这
3、就证得结果,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特,同, 这里不再一一叙述.,二、累次极限,极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋,定义3,如果进一步还存在极限,累次极限, 记作,它一般与 y 有关, 记作,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,注 累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间,没有蕴涵关系. 下面三个例子将说明这一点.,从而又有,同理可得,这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,诉我们, 这个结果是必然的. ),个累次极限都不存在. 这是因为对任何,时, f 的第二项不存在极限. 同理, f 的第一,项当 时也不存在极
4、限. 但是由于,故按定义知道 时 f 的重极限存在, 且,下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理 6 若 f (x, y) 的重极限 与,证 设,的 x, 存在极限,另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,都存在, 则三者必定相等.,推论2 若累次极限,不存在.,请注意: (i) 定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论, 对此只需考察本节习题,之 2(5).,(ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件.,(iii) 推论
5、 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8 ).,例10 设,试证明:,证,根据柯西准则, 证得,又有,这就证得,注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与,定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii),2、 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分,其中,所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比一元函数更一般化,了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质, 二者完全相同.,一、二元函数的连续性概念,二、有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概念, 连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形
6、,下, 也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点,连续等价于,如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元,函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或,称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于,如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5,给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数,改为,上，这时由于,其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在,在坐标原
7、点的连续性,因此 f 在原点沿着直线 是连续的,例1 讨论函数,解 由于当,在原点间断, 全增量与偏增量,设,量形式来描述连续性, 即当,为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增,时, f 在点 连续.,增量称为偏增量, 分别记作,一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增,量之和.,若一个偏增量的极限为零, 如,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该,函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数,在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0,因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.,例2 设在区域,连续试证在下列条件之一满足时
8、，,处处连续：,使得对任何,(ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y),是一致的, 即,(iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明).,证(i),又当,(ii),又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故,这就证得, 连续函数的局部性质,以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元,若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以,证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性,复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习.,义, 并在点 Q0 连续, 其中,连续.,在点 的某邻域内有定义, 并在,时, 有,又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述,二、有
9、界闭域上连续函数的性质,本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这,可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.,定理 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元,且能取得最大值与最小值.,又因 f 在 D上连续, 当然在点 也连续, 于是有,这与不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函数.,下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设,由前面的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D,在 D 上有界的结论相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取,到最大值.,定理 9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域,证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的,理来证明
10、. 这里我们采用后一种证法.,方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定,倘若 f 在 D 上连续而不一致连续, 则存在某,由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列,上一致连续.,定理 10 ( 介值性定理 ) 设函数 f 在区域,上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且,则对任何满足不等式,证 作辅助函数,易见 F 仍在 D 上连续, 且由 (4) 式知道,由于 D 为区域, 我们可以用有限段都在 D 中的折线,连结 P1 和 P2 (如图 10-18).,若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得,证. 否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段,使得 F 在它两
11、端的函数值异号. 不失一般性, 设连结,P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线段含于 D, 其方程为,在此直线段上, F 变为关于 t 的复合函数：,由于 G 为 0, 1 上的一元连续函数, 且,因此由一元函数根的存在定理, 在 (0, 1) 内存在一点,有连通性的.,界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理,中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保,证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具,续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限).,注2 由定理 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连,例3,注1 定理8 与 9 中的有界闭域 D 可以改为有,证 由定理16. 9 知道,这就证得,复习思考题,1. 在一元函数连续性定义中, 如何引入“孤立点必为,这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?,等函数都是在其定义区间上的连续函数”. 当引入了,“孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成,是: “任何初等函数在其定义域上处处连续.” 试讨论,连续点”这个概念？,2. 在讨论一元初等函数时有一个重要结论: “任何初,