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1、第二章 参数估计,第2.1节 点估计与优良性,第2.2节 点估计量的求法,第2.3节 最小方差无偏估计与有效估计,第2.4节 区间估计,第2.1节 点估计与优良性,一 点估计的概念,二 无偏估计,三 均方误差准则,四 相和估计(一致估计),五 渐近正态估计,一、点估计的概念,设总体X的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.,例1,解,用样本均值来估计总体的均值 E(X),点估计问题的一般提法,解,例2,二、无偏性,无偏估计的实际意义: 无系统误差.,定义2.1,证,例3,特别地:,不论总体 X 服从什么分布,只要它的
2、数学期望存在,证,例4,(这种方法称为无偏化).,分析,例5,设总体X的方差D(X)存在，且 D(X) 0,(X1, X2 , , Xn ) 为来自总体X的样本，试选择适当的常数C，使得,为D(X)的无偏估计.,需选择C，使,而X1, X2 , , Xn 相互独立，且与X 同分布,解,依题意，要求：,注,一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一.,如：设样本(X1, X2 , , Xn ) 来自总体X，E(X)=,也均是的无偏估计.,问题：,对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？,三、均方误差准则,换句话说，,的波动越小，即方差,越小越好.,定义2.2,利用上述定义，能否找到最优估计
3、呢？答案是否定的.,1. 均方误差,又因为,定义2.3,2. 有效性,例6,来自总体X的样本，问：下列三个对 的无偏估计量哪一个最有效？,解,定义2.4,注,最小方差无偏估计是一种最优估计. 基于完备统计量的无偏估计一定是MVUE. 后面的章节会给予说明此结果.,3. 最小方差无偏估计,四、相和估计(一致估计),前面几个估计的评价标准主要讨论了估计的期望与方差的特性，下面这个标准将从估计的极限特性给予说明。,定义2.5,注,相和估计是对估计量的一个基本要求,1. 相和估计的定义,2. 相和估计的性质,定理2.2,证,定理得证. 对于多元函数也有类似结论。,证,由大数定律知,例7,由大数定律知,由此例可以看出：用定义证明相当麻烦。,3. 相和估计的判别法则,证,这是因为,定理得证,同样,五、渐近正态估计,定义2.6,注,1 、由定义可知，只要n充分大，则估计量,定理2.3,渐近正态估计一定是相和估计,证,例8(p41例2.6),证,由中心极限定理可知,因而,再 见,