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1、,第一章、函数与极限,习题课,一、主要内容,二、典型例题,三、作业,一、主要内容,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,双曲函数与 反双曲函数,1、函数的定义,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,函数的分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),(1) 单值性与多值性:,2、
2、函数的性质,若对于每个,仅有一个值 y= f (x)与之对应，,则称y= f (x)为单值函数，,否则就是多值函数.,(2) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(3) 函数的单调性:,(4) 函数的有界性:,(5) 函数的周期性:,3、反函数,4、隐函数,5、反函数与直接函数之间的关系,设函数 y= f(x),的反函数为,(1),6、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,7、复合函数,8、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,9、双曲函数与反双曲函数,双曲函数常用公式,左
3、右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,1、极限的定义,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2、无穷小与无穷大,记作,记作,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与
4、无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,3、极限的性质,4、求极限的常用方法,a. 多项式与分式函数代入法求极限; b. 消去零因子法求极限; c. 无穷小因子分出法求极限; d. 利用无穷小运算性质求极限; e. 利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,准则 单调有界数列必有极限.,6、两个重要极限,(1),(2),7、无穷小的比较,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是的等价无穷小,记作,定义,8、
5、等价无穷小的性质,9、极限的唯一性,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,1、连续的定义,定义2,2、单侧连续,左连续,右连续,3、连续的充要条件,定理,4、间断点的定义,f (x)的不连续点(或间断点)。,并称点x0为,函数 f (x)在点x0处不连续(或间断),则称,如果上述三个条件中只要有一个不满足,(1) 跳跃间断点,(2)可去间断点,5、间断点的分类,若,称,为为函数 f(x)跳跃间断点.,称,若,存在,但,为函数 f(x)的可去间断点 .,跳跃间断点与可去间
6、断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,函数在x0处的左右极限都存在.,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,6、闭区间的连续性,7、连续性的运算性质,定理,若函数f(x)在开区间(a, b)内连续，并且在左端点,x=a处右连续，在右端点x=b处左连续,则称函数,f(x)在闭区间a, b上连续.,定理1 单调的连续函数必有单调的连续反函数.,8、初等函数的连续性,定理3,定理2,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭
7、区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,例1,解,二、典型例题,例2,解,利用函数表示法的无关特性,代入原方程得,代入上式得,解联立方程组,例3,解,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,例4 求极限,解,而,由夹逼准则得,例5 求极限,解,原式,例6,解,例7,解,例8,解,例9,证法一,倘若不存在,使,则在,上，,不妨设,于是,与已知矛盾,原命题正确.,例9,证法二,讨论:,由零点定理知,综上所述,解,原式 = 1.,(2000考研),例10. 求,上,若
8、 f (x)在,连续,解,且对任意实数,证明: f (x) 对一切 x 都连续.,例11 设 f (x)定义在区间,对任意,所以f (x)在 x 连续.,三、作业,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,思考与练习,不是,是,不是,提示: (2),2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数.,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,4. 设,5. 已知,求,解:,6. 设,求,解:,测 验 题,测验题答案,在 x = 0 连续 , 则 a = , b =
9、 .,提示:,例3. 设函数,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,试确定常数 a 及 b .,例4. 设函数,解:,原式,故,于是,而,例5. 确定常数 a , b , 使,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,例6 当,阅读与练习,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,2. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,习题课,一、 导数和微分的概念及应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,导数与微分,第二
10、章,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关系 :,可导,可微,( 思考 P124 题1 ),应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设,存在,求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,若,且,存在 ,
11、 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,在,处连续,且,求,解:,思考 : P124 题2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求,解:,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是否为连续函数 ?,判别:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,解:,又,例5.,处的连续性及可导性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,1. 正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2
12、) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设,其中,可微 ,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数.,解: 由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续, 即,得,2) 利用,而,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 利用,而,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故
13、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P124 4 ; 5(1) ; 6 ; 7 (3) , (4) , (5) ; 8 (2) ; 10 ; 11 (2) ; 12 ; 13 ; 15,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拉格朗日中值定理,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维, 设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及
14、到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式，,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,例1. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,在以,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定
15、理条件,故至,使,即有,少存在一点,例3.,且,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,例4.设实数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根.,证: 令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例5.,设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且,分析: 所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在0, 2上连续, 且在,0, 2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由
16、罗尔定理知, 必存在,例6.设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,1. 研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,4. 补充定理 (见下页),设函数,在,上具有n 阶导数,且,则当,时,证: 令,则,利用,在,处的 n 1 阶泰勒公式得,因此,时,定理.,的连续性及导函数,例7. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的
17、示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,在,上可导，,例8. 证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,例9. 设,在,上可导, 且,证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .,证: 设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点 .,又因,因此,也至多只有一个零点.,思考: 若题中,改为,其它不变时, 如何设辅助函数?,例10. 求数列,的最大项.,证: 设,用对数
18、求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值.,又因,中的最大项.,极大值,列表判别:,例11.证明,证:设, 则,故,时,单调增加 ,从而,即,思考: 证明,时, 如何设辅助,函数更好?,提示:,例12. 设,且在,上,存在 , 且,递减,有,证: 设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立.,单调,证明对一切,例13.,证: 只要证,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14. 证明当 x 0 时,证: 令,则,法1 由,在,处的二阶泰勒公式 ,得,故所证不等式成立.,与 1 之间),法2 列表判别:,即,法3 利用极值第二判别法.,即,例15. 求,解法1 利
19、用中值定理求极限,原式,解法2 利用泰勒公式,令,则,原式,解法3 利用罗必塔法则,原式,习题课四,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第四章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含
20、参数的项 .,如, P265 题4,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,(考研98 ),例2. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,提示:由上题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理)
21、,当,时,故所给不等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例6.,解：,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 f (0) = 0, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数
22、 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 设,解:,机动 目
23、录 上页 下页 返回 结束,例13. 若,解: 令,试证 :,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎
24、样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)
25、中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反,
26、对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 取
27、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例7. 设,证:,证明递推公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定
28、是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如 ,例10. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,解：,因为,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,求不定积分,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,I =,例15. 求,解:,( n 为自然
29、数),令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习 题 课 五,常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,一、主要内容,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,幂级数,收敛性,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,和函数的分析运算性质:,幂级数展开式,定义,展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,(4) 常见函数展开式,应用,a.近似计算,b.欧拉公式,其中,傅里叶级数,狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,解,解1,故此正项级数收敛.,解2,故由比较审敛法可知级数收敛.,解,解,例,解,例3,解,例4,证,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,和函数的图形为,例11,解,测 验 题,测验题答案,You will success!,Come on!,