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1、,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十一章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 设,为XY型区域 ,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积
2、分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用
3、重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例4. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见 P171),机动 目录 上页 下页 返回 结束,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1. 连通区域的类型,设有空间区域 G ,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域 ;,
4、若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域 .,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域 .,既是一维也是二维单连通区域 ;,是二维但不是一维单连通区域 ;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证: “充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”. 用反证法.,已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 ,则存在邻域,则由高斯
5、公式得,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .,流出的,表明 内有泉;,表明, 内有洞 ;,根据高斯公式, 流量也可表为,机动 目录
6、上页 下页 返回 结束,方向向外的任一闭曲面 ,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,divergence,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝
7、对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,P16 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且,*例5.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散
8、度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,试证,证: 设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,