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1、前言 达朗贝尔原理 虚位移原理 动力学普遍方程 拉格朗日第一类方程 拉格朗日第二类方程,理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,分析力学基础,拉格朗日 第一类方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,2,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程 受约束刚体动力学方程,分析力学基础,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,3,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程 受约束刚体动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,4,受约束质点系动力学方程,自由质点系,分析力学基础/
2、拉氏第一类方程/质点系,虚功形式的动力学普遍方程,质点系,自由,笛卡儿坐标阵,相互独立,牛顿方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,5,非自由质点系,分析力学基础/拉氏第一类方程,虚功形式的动力学普遍方程,质点系,笛卡儿坐标阵,约束方程,令待定的常数阵,约束方程等时变分,转置,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,6,分析力学基础/拉氏第一类方程,例,以列阵 为元素,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,7,分析力学基础/拉氏第一类方程,例,以列阵 为元素,合理选择,令 为独立变
3、量,令,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,8,合理选择,带拉格朗日乘子的质点系动力学方程,拉格朗日第一类方程,拉格朗日乘子,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,9,例,一双质点摆，摆球P1与P2的质量分别为m1与m2，摆长分别为l1与l2,试利用拉格朗日第一类方程建立该双质点摆的动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/例,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,10,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,解,惯性基,系统笛卡儿坐标阵,约束方程,自由度为2,引入拉格朗
4、日乘子阵,主动力阵,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,11,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,12,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,拉格朗日第一类方程,上述4个方程中有6个变量,附加加速度约束方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,13,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程 受约束刚体动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,14,刚体虚功形式动力学方程,缩并形式,增广质量阵,增广主动力阵,受约束刚体动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程
5、/刚体,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,15,自由刚体,惯性基,质心连体基,刚体的位形,位形坐标阵,坐标相互独立,位形坐标阵虚位移,相互独立,单刚体虚功形式动力学方程,或,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,16,受约束刚体,惯性基,质心连体基,刚体的位形,位形坐标阵,坐标相互不独立,位形坐标阵虚位移,相互不独立,刚体虚功形式动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,17,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,约束方程,自由度,速度约束方程,虚位移方程,位形坐标阵,位形坐标
6、阵虚位移,相互不独立,坐标相互不独立,引入拉格朗日乘子,转置,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,18,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,虚位移方程,刚体虚功形式的动力学方程,引入拉格朗日乘子,刚体带拉格朗日乘子虚功形式的动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,19,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,令,如果,令独立变量,适当选定,独立性,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,20,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,适当选定,受约束刚体动力学微分方程,微分方程变量,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,21,分析力学基础/拉氏第
7、一类方程/刚体,受约束刚体动力学微分方程,微分方程变量,3+s个,补充加速度约束方程方程,受约束单刚体动力学（封闭）数学模型,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,22,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,受约束刚体动力学微分方程,比较,作用于刚体的理想约束力(偶)的主矢,作用于刚体的理想约束力(偶)对质心的主矩,理想约束力与拉格朗日乘子的关系,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,23,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/例,例,均质杆AB长为l，质量为m，它在地面与墙面上无摩擦地滑动,建立均质杆AB封闭的动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,
8、24,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,解,杆的运动为平面一般运动,惯性基,连体基,约束方程(一般位置),主动力,增广主动力阵,雅可比与加速度约束方程右项,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,25,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,26,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,动力学方程,封闭的动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,27,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,矢量力学一般方法,展开,比较,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,28,分析力学基础/拉氏第一
9、类方程/刚体/例,例,一均质圆柱质量为m，半径为r，在倾斜角为q的斜面上作无滑动滚动，不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力,建立其带拉格朗日乘子封闭的动力学方程 且求拉格朗日乘子的表达式,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,29,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,圆柱运动为平面一般运动,理想约束力,解,惯性基,连体基,无滑动滚动,约束方程,雅可比与加速度约束方程右项,主动力,增广主动力阵,无滑动滚动,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,30,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,31,分析力学基础/拉氏
10、第一类方程/刚体/解,封闭的动力学方程,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,32,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,封闭动力学方程,展开,可解出拉格朗日乘子,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,33,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,矢量力学一般方法,动力学方程,展开,比较,乘子与约束力间的关系 将在以后推导,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,34,比较,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,拉格朗日第一类方程,矢量力学一般方法,需对约束力进行受力分析,不考虑约束力,动力学方程,附加方程,未知变量,约束力的处理,直接得不到约束力,直接得到约束力,建方程的过程,对约束运动学关系进行分析,组集,组集,2019年4月2日,理论力学CAI 分析力学基础,35,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,