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1、西安电子科技大学 硕士学位论文 FDTD方法在色散介质中的应用 姓名：吴跃丽 申请学位级别：硕士 专业：无线电物理 指导教师：葛德彪 20021201 摘要 一 摘要 色散介质的介电系数是频率的函数，在时域成为卷积关系，这就为直接应用 F D T D 方法计算色散介质的散射和传播问题带来困难。本文主要用两种方法处理 色散介质的本构关系。一种方法是用z 变换导出F D T D 中西与豆的关系：另一种 方法是把相对介电系数写成以徊为自变量的有理分式函数，根据，= 纠研，过 渡到时域，再引入离散时域移位算子代替时间微分算子来处理有理分式函数形式 的介电系数，进而导出F D T D 中西与豆的关系。实
2、现了算法编程，验证了这两利 方法的正确性，具体给出一维电离层传播和散射的算例。用两种方法分别计算了 等离子体平板的反射和透射系数和等离子体覆盖的导体圆柱远场散射。并且把这 两种方法作了比较。最后将散射传递函数概念结合F D T D 方法分析核电脉冲在电 离层中的传播和散射。 关键词：F D T DZ 变换有理分式移位算子色散介质 摘要 一 A b s 仃a c t T h ea n a l y s i so fe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n dp r o p a g a t i o nf o rd i s p e r s
3、i v em e d i ai s c o m p l i c a t e di nt i m ed o m a i n ，b e c a u s ed i e l e c t r i cp r o p e r t i e s i s f r e q u e n c y d e p e n d e n ti n d i s p e r s i v em e d i a I n t h i sp a p e rw eu s et w om e t h o d st ot r e a tt h er e l a t i o nb e t w e e nDa n d 豆i nd i s p e r
4、s i v em e d i a O n ei st h eZt r a n s f o r mm e t h o d T h eo t h e ri sas h i f to p e r a t o r m e t h o d T h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yo fg e n e r a ld i s p e r s i v em e d i am a yb ed e s c r i b e db y r a t i o n a lf r a c t i o na sar a t i o n a lp o l y n o m i a li n
5、 j c o T h eo p e r a t o rZ f i sd e f i n e da sas h i f t o p e r a t o r T h er e l a t i o nb e t w e e n Da n dEi sd e r i v e di nt i m ed o m a i n W h i l eu s eo fZ t r a n s f o r mt h e o r ya n dt h es h i f to p e r a t o rm e t h o dt ot r e a tt h er e l a t i o nb e t w e e nDa n dE
6、 i nd i s p e r s i v em e d i a ，F D T Dm e t h o di sc a p a b l eo fc o r r e c t l yc a l c u l a t i n ge l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n g a n d p r o p a g a t i o n f o rm e d i aw h o s ed i e l e c t r i c p r o p e r t i e s a r e f r e q u e n c y - d e p e n d e n t W ea p
7、 p l yF D T Da n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nDa n dEt o a n a l y z et h e p r o p a g a t i o no f al i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o nr a d a r s i g n a lt h r o u g h t h ei o n o s p h e r ea n dt o c a l c u l a t es c a t t e r i n gf o re l e c t r o m a g n e t i cw a v e
8、i n c i d e n to n p e r f e c t l yc o n d u c t i n gc y l i n d e r c o a t e dw i t hp l a s m a O u r c o m p u t e d r e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h ed a t ao b t a i n e d b yo t h e r m e t h o d s F i n a l l y ，W ea p p l ys c a t t e r i n gt r a n s f e rf u n c t i o n ( S T
9、 F ) a n dF D T D t oc a l c u l a t eo f p r o p a g a t i o n o f a d o u b l e - e x p o n e n t i a lp u l s et h r o u g h t h ei o n o s p h e r e K e y W o r d s ：F D T D Zt r a n s f o r mR a t i o n a lF r a c t i o nS h i f tO p e r a t o r D i s p e r s i v e M e d i a 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个
10、人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：娶谬丢t 翻 本人签名： 天莎犬j d 关于论文使用授权的说明 日期：垫兰二! 圣二蛰 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证
11、毕 业离校后，发表论文或使用论文成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：爱锨t 韵 日期：2 0 0 Z 一1 7 _ 一z 导师签名 趔 刚蝈：Z o o Z f 2 ，2 1 第一章绪论 ! 第一章绪论 【提要】本章对色散介质中波传播的研究概况进行回顾，并对色散介质中F D T D 方法的基本内容作一简单介绍。简要介绍了本文在应用F D T D 方法研究色散介质 电磁
12、散射时所做的工作。 1 1 研究的背景及意义 H a m i l t o n 最早研究波传播中的色散现象，他在1 8 3 9 年首次提出群速的概念。 1 8 8 7 年R a y l e i g h 提出了群速和相速的区别。这些早期的讨论主要是定性的，而且 问题过于简单化。原子模型的电介质色散特性的研究始于二十世纪初，L o r e n t z J 】 对电介质色散特性进行更深入的研究。S o m m e r f e l d t 2 1 春l J 用傅立叶积分表达式研究 了单位阶跃函数调制的平面波在充满半无限大空间的L o r e n t z 介质中的传播，即 使在反常色散区信号的群速超过真空
13、中的光速C 。，信号能量也总是以小于或等于 C 。的速度到达。 B r i l l o u i n t 3 J 对S o r m n e r f e l d 的结论作了重要的推广。由于指数传播因子e 忡州。j 中存在复值的相位函数妒) ，B r i l l o u i n 用当时刚提出不久的最速下降法得到了传 播距离较长时信号的渐近特性。这种方法将上半复功平面从负无穷到正无穷的积 分路径变形为通过妒b ) 鞍点的最速下降线；对积分表达式的渐近近似的主要贡献 来自随观察时间而移动的鞍点。他利用相位函数的一阶近似求出了鞍点的近似位 置，并得到下述结论：由于妒0 ) 在川= 。处的性态和被积函数的解
14、析性，当 日= c t z f 山 离散网格数 ( c ) 图3 5 当频率f = 4 0 0 0 T H z 时调制G a u s s 脉冲在等离子体中的传播 ( a ) 时间步T = 8 0 0 A t 时；( b ) T = 1 8 0 0 A t ：( c ) T = 3 2 0 0 A t 0 从图3 5 中可以看出在不同时间步时调制G a u s s 脉冲传播情况，图a 描述了 当时间步T = 8 0 0 A t 时调制G a u s s 脉冲传播的情况，可以看出是调制G a u s s 脉冲， 这时调制G a u s s 脉冲还在自由空间中传播。图b 描述了当时间步r = 1 8
15、 0 0 A t 时调 制G a u s s 脉冲传播的情况，可见这时的波已经进入等离子体内，绝大部分波传播 进入等离子体中，只有- d , 部分波反射到自由空间中去。图c 描述了当时间步 T = 3 2 0 0 A t 时调制G a u s s 脉冲传播的情况，这时的调制G a u s s 脉冲已经穿过等离 子体进入自由空间中。从图c 中可以看出绝大部分波穿过等离子体进入自由空间 中，只有一小部分波反射到等离子体中。 龇 设( 3 - 3 - 5 5 ) 式中频率f = 9 0 0 T H z 时，脉冲底座宽度d = 3 1 0 “5 s ，调制O a u s s 脉冲源位于点k = 5 处
16、。设等离子体的厚度为5 1 0 m ，在元胞数1 2 0 0 ( ( 1 5 0 0 这 段区域内，其余空间为自由空间。计算结果如图3 6 所示。 3 2F D T D 方法在色散介质中的应用 自由翻 1 ；自由 一- 卜 空间 。J V ( a )( b ) 图当频率= 9 0 0 刀七时调制脉冲在等离子体中的传播 ( a ) 时间步=时：( b ) = 时 从图中可以看出在不同时间步时调制 脉冲传播情况，图为时间 步=时空间场的分布情况，可以看出这时调制 脉冲正在自由空间 中传播还没有进入等离子体中。图描述了当时间步=时脉冲传播的情 况，这时的调制 脉冲已经到达等离子体区，并且完全反射回自
17、由空间中去。 以上两种情况可以看出，同样的等离子体，在调制脉冲波的频率不一 样时，调制 脉冲在遇到等离子体时传播的情况就不一样。在情况l ，由于 中心频率厂大于银的等离子体频率厶，对于等离子体银来说入射波相当于高频， 入射波几乎全部透射过去，如图3 5 所示。在情况，由于中心频率厂小于银的 等离子体频率L ，对于等离子体银来说相当于低频，这时可以把等离子体看作金 属，入射波全部反射，如图所示。 P 山 第四章用z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播 3 3 第四章用z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播 【提要】本章主要用z 变换及F D T D 方法分析波在电离层中的
18、传播。首先介绍了 电离层参量；其次，分析线性调频信号在电离层中的传播：再次，分析核电辐射 在电离层中的传播。 4 1 电离层概述 4 1 1 电离层的形成 电离层是地球高层大气的一部分。太阳紫外线等的辐射使该层内大气分子发 生电离，从而产生大量自由电子，使无线电波的传播方向、速度、相位、振幅及 偏振状态等发生变化。一般认为电离层在离地高度6 0 2 0 0 0 k m 之间。电离层的 各种物理及化学变化与太阳电磁辐射、微粒辐射、磁层扰动、地磁场变化及高层 大气运动等密切相关。 正常情况下，高层大气分子和原子大多呈中性，在太阳辐射和高能离子流的 作用下，部分气体分子和少量原子会发生电离，从而形成
19、由电子、正离子、中性 分子及原子等组成的等离子体。关于电离层有如下概念： ( 1 ) 由于太阳紫外线辐射和微粒流的作用，地球高层大气会发生一定程度的电离。 ( 2 ) 电子浓度最大的区域既不在大气的最上层，也不在大气的最底层。顶层大气中， 气体分子浓度很小，产生的电子浓度也小。对底层大气来说，穿入大气的紫外线 辐射会很快被大气吸收，从而到达大气底层的辐射甚微，加之大气底层分子密度 很大，即使发生少许分子电离也会很快复合。这样6 0 k i n 以下的大气中基本不存 在带电粒子。从这一高度向上，电子浓度愈来愈大，到某一高度时会达到极大值， 然后又随高度的增加而减少。 ( 3 ) 不同高度空域的主
20、要气体成分不同，能使各种气体成分发生电离的太阳辐射谱 线或频段各不相同；大气温度随高度的分布存在着几个极值；加上大气运动等因 素，使电离层随高度而分布不均匀，即整个电离层呈分层结构，分别称为D 层、 E 层、F 1 层、F 2 层。 4 1 2 电离层的结构 按照电离层中电子浓度极值区域的高度，可把电离层分为几个层次，常规状 态下各层次的主要状态参数如表4 1 所示泌”】；下文用 ，。表示最大电子浓度， h 。表示最大电子浓度所在的高度。 2 , 4F D T D 方法在色散介质中的随用 曼燃嘲瞄皇曼曼燃期_ _ 皇嘲糕鼍_ _ _ _ t t i t 鼍曼曼曩耐燃意曼是墨期蔓皇置- 蔓曼薯制
21、掌邕皇曼篁燃邕曼皇詈g 燃 I层的名称D 层E 层 F 1 层F 2 层 夏季翻天高度 6 0 9 09 0 1 6 01 7 0 2 2 02 2 5 4 5 0 ( k m ) 冬季囊天高瘦 1 6 0 1 8 0 6 0 9 09 0 1 6 01 7 0 以上 ( k m )( 经常消失) 自天最大电子 约2 5 1 0 9约2 1 0 “ 2 1 0 “8 1 0 ” 浓度( 个m 3 ) 4 1 0 1 12 1 0 1 2 毫予浓度最大 约8 0约1 1 0约1 8 02 0 0 3 5 0 值的高度( k m ) 磁攮频率 1 0 6 1 0 81 0 5 1 0 61 0 4
22、1 0 1 0 3 ( 次秒) 自天漆器频率 ( M H z ) 小于0 4小于3 6小于5 6小于1 2 7 瓣注魏屡夜润消失 夏天爨天存在永久存在 表4 1 电离层各层的主要数据 电离稼各层豹主要特挫： ( 1 ) D 层娥电离层中的最低层，分布在离地面6 0 9 0 k i n 范围陡，D 层在日出鹾 密现并在巾午达翔最强电离，霜落螽逐渐消失，静此层夜间消失。 ( 2 ) E 层的高度约搬9 0 一1 6 0 k m 之间，电子浓度随摄夜和攀节周期性交化。 ( 3 ) F 层怒电离层中持久存在、宅予浓度最大的滋次。箕高度约在1 6 0 k m 以上。 夏攀的白天F 层可分为两层：下面是F
23、 l 层，上面是F 2 层。F l 层高度约 1 7 0 2 2 0 k m ，F 2 藤是宅鬻震中掩久存在豹层次，也是爱瓣高频电波的主要区域。 其中F 1 层仅白天存在，F 2 层永久存在。 与毫波黄撵紧密籀关豹毫离豢参数主溪是电子浓度，帮单位体积内掰含自由 电子个数。电离层电子浓度一般随空间和时间而炎，而随高度的分布常称为“电 子浓度蘩甏”。在缀波逶瀑孛，圭簧考虑嚣层豁上电离瑟的影晌。 描述电离层剖丽的主婺特征参数有：电离层下边界的高度；各层最大电子 浓度赝在巍度，：；各层最大瞧子浓泼娩。，心。，：鞋及邀子含 量；平板厚度和半厚度。 电离艨中单缱瓣莰毒主髂肉瘊含魄子数称海“电子禽量”，羁游
24、l N ，= 札幽( 4 - 1 1 ) 式中札为电子浓魔；h 为高度；为电离层的下边界商壤 为柱体的止顶岗 第四章川Z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播 3 5 度。如将电离层的各层等效为按电子峰值浓度均匀分布的平板层，层的厚度称为 “平板厚度”，其值等于该层的电子含量与电子峰值浓度之比。如把电离层最大 电子浓度所在高度以下的电子浓度分布视为抛物线分布，则所得等效厚度称为半 厚度( 圪) 。 在电离层中还有一个很重要的特征参数是“等离子体频率”，即等离子体的 固有振荡频率，用九表示。部分和全部电离后的气态物质中，正和负的F I _ l 荷大致 相等时称为等离子体。电离层是一种等
25、离子体，电子浓度M 与九有如下的关系： 九2 ：辈 ( 4 1 - 2 ) 。”4 n “ 2 m F o 、7 式中m 为电子质量，口为电子电荷，“为自由空间中介电常数。 4 1 3 电离层模型 ( 1 ) 抛物线层 用抛物曲线来近似层内电子浓度随高度变化的层称为抛物层，其表达式为1 2 8 N e = 忙 m I - 匕) 式中。为电子浓度最大值；也。为电子浓度最大值所在高度；匕为抛物层的半 厚度。抛物层内电子浓度分布与实际分布相当接近，特别是在最大值附近更是如 此，其数学表达式又比较简单，故常被采用。 ( 2 ) 线性层 假设电离层被划分为许多薄层，每层的电子浓度随高度分布被认为是线性
26、的，从而有【2 ” 札= 。+ ! 垒每：j j 掣( 一皿) ( 啊 + ) ( 4 一l 一4 ) 式中 - ，札。分别为高度 ，曩+ 上的电子浓度，常称这种模型为线性分层模型。 4 1 4 电离层的电参量 由于介质的电磁性质可以用介电常数占、电导率盯和磁导率来表示。在电 离层中* 风，因此只需讨论前两个物理量就能了解介质的电磁特性。电离层可 被当作具有某种电参量占和盯的连续媒质来研究。 在电场力的作用下，电子产生的平均位移为尹，电子在磁场中受到的洛伦磁 力8 l 导l B 的作用，使电子绕磁场方向作旋转运动。同时电子还存在杂乱无章的 p j半 一 一 O 3 6F D T D 方法在色散
27、介质中的应州 热运动，相互之间存在碰撞，于是电子的运动方程为”1 m 旦：+ m u L r ：出+ P O r 雪 ( 4 1 5 ) ”萨棚”a 喇w 瓦螂 H ( 4 1 5 ) 式中为肌电子质量，e 为电子电量，u 为电子平均碰撞频率( 即单位时 间里碰撞次数) ( 由于离子比电子重的多，所以不考虑离子的运动) 。 下面我们分析有碰撞( O 0 ) ，但无外磁场( B = 0 ) 的情况。在没有波场的 情况下，电子仅存在无规则热运动；但当有波场时，在热运动上会附加由波场引 起的电子规则运动，介质中存在传导电流。由于不考虑外磁场，式( 4 1 5 ) 可化 为 m 窘- i - m o
28、砉= e E 2 c 4 1 - 6 ，=( - J 西2a f 化简得 坚+ u 旷：疆(1mm4 - 1 - 7 一)+ u = 弛LJ 此方程的解取如下形式： 旷= 五e ，“ ( 4 1 。8 ) 将式( 4 1 8 ) 代入式( 4 1 7 ) 中得 柳厕P 埘+ m 龋e j “= 疆( 4 1 9 ) 可得 良尚( 4 - 1 - 1 0 )m U + u J 如以矿表示电子运动的速度，以M 表示单位体积中的电子数，则电子运动而产生 的电流密度了可表示为 7 l = 帆e 肚m N e e + 2uJ(4-1-11) 由麦克斯韦方程可知 V 疗= 了+ 堕a t 。r o 堕S
29、t = 氏。肌N u , e 。2 司+ - 等( 4 - 1 - 1 2 ) 令 2 = 警= ) 2 ( 4 - 1 - 1 3 ) 以为等离子体固有振荡频率，称为等离子体频率，当外来无线电波的频率等于此 频率时，等离子体会发生谐振。那么式( 4 1 1 2 ) 可写为 第四章用z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播3 7 弘肌岛I 卜南陌 由于占= E o E ，所以相对介电常数为 占，= t 一石芋1 2 _ 巧= ，一骗q 一南。1 一丽茹习 弘眦。l - N e e 2 一 O P “+ 孝翻胁筹+ 面 其中 s = 6 0 E 1 一嚣铡 p 2 0 - e - v
30、一硐 ( 4 1 1 4 ) ( 4 1 - 1 5 ) ( 4 1 1 6 ) ( 4 1 1 7 ) ( 4 1 1 8 ) 从( 4 1 - 1 7 ) 和( 4 - 1 - 1 8 ) 式可以看出，介质参量占、盯与频率有关，即电离层是 色散介质。此外，由于电子浓度也随空间而变，占和盯也随之改变，所以电离层 是不均匀介质。当考虑电子碰撞时，电离层是有耗介质。 4 2 1 线性调频信号 4 2 线。陛调频信号在电离层中传播 矩形包络线性调频信号是一种较为复杂的信号形式，在雷达上已有广泛的应 用。线性调频信号p 2 “1 可表示为 娟旭料。s ( 吣+ 等 ( 4 - 2 1 ) 式中，e
31、c f G ) 为矩形函数， 阳甜G ) = o 当； 1 当H 1 0 ，且取时间步间隔为A t = 5 ( 2 如) ，则有 f ：上( 4 - 3 - 3 ) 2 L 卫星按高度分为3 种：低轨道( 距地面数百至5 0 0 0 k m ) ；中轨道( 距地面5 0 0 0 至2 0 0 0 0 k m ) ：高轨道( 距地面3 5 8 0 0 k m ) 。电离层距地面6 0 k m 至2 0 0 0 枷左右。 以卫星接收核电辐射为例，电磁场分布于全空间，为了用F D T D 模拟计算这一散 射过程，只能截取电离层的有限区域进行分析。计算模拟只限于截断边界以内区 域，这就相当于以有限色散
32、空间的散射实验来模拟全空间中的散射过程。这时， 只有建立色散介质的吸收边界条件，使波在截断边界处无反射。 4 3 2 色散介质的吸收边界条件 对于一维问题来说，色散介质中的边界有左截断边界和右截断边界。本文重 点分析右截断边界。根据M a r 吸收边界条件的单向行波解，在右截断边界x = a 处( F D T D 区在工a 一侧) 的一阶近似吸收边界条件为 ( 昙+ l 昙) ，l ，；。= = o c 4 ，? ， 式中v 为截断边界处介质中波的相速，f 昙+ 三导1 称为微分边界算子。色散介质 、甜vO t ， 中波的相速是频率的函数，因而( 4 3 4 ) 式只适应于某一频率。在用F D
33、 T D 处理 脉冲波散射和传播问题时，电磁脉冲在频域具有一定带宽。为了使吸收边界在相 应带宽内有较好吸收特性，可以将( 4 - 3 - 4 ) 式改写为连级形式 第四章用z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播4 5 ( 丢+ 击昙 ( 昙+ 击导 卅。= 。( 4 - 3 - 5 ) 式中v 。和v ：分别为所关心频带中两个不同频率下的相速。 对( 4 - 3 - 4 ) 式在( f o + 丢) 点和，= ( n + 圭) 出时刻作离散各项为 掣伊丛霉蚓睫 为了消去( 4 3 - 6 ) 式中，在( f 0 + 1 2 ) 和O + 1 2 ) 半整数点处的值 州哇) _ 出掣
34、 ，”沁，) = 趟掣幽 ( 4 3 6 ) 利用线性插值 ( 4 3 7 ) ：! 鱼1 2 ：鱼! ! 一：! g ! ! ：鱼! ：一! f ：二! 亟! ! ：二! 亟! 一：垃! ! ：亟! 4 - 3 8 v l 2 A t2 A t J 化简得 f n + l ( f 0 + 1 ) = 厂”( f o ) + 面v a t + - 。6 ( 、f “( f 0 ) 一，”( i o + 1 ) ) ( 4 3 9 ) 为了简明，上式仅给出沿x 轴的节点标号，f 0 + 1 表示截断边界处节点。( 4 3 9 ) 式可写为 ，”1 ( i o + 1 ) 一，”( f 。) 一g
35、 ( ，”“( f 。) 一f ”( i o + l ”= 0 ( 4 3 1 0 ) 式中 v t 一占 g 2 v a t + 6 ( 4 3 - 1 1 ) 引进差分算子 ”( f ) = f ” T f ”( f ) = f ”1 s f ”( f ) = f “( f + 1 ) ( 4 3 1 2 ) I 称为单位算子，T 称为差分时间步移算子，S 为差分空间步移算子。于是( 4 3 1 0 ) 式可写成算子形式，即 c ，一T S 一9 0 - I _ r 炒”+ 1 伉+ 1 ) ：0 ( 4 3 1 3 ) 上式为( 4 - 3 - 1 0 ) 式的相应差分算子形式，其中(
36、，一T S 一g p 一r ) ) 称为差分边 界算子利用差分算予，( 4 3 5 ) 式相魔的算予形藏涛 ( j T S 一g 。p 一一r ) ) ( ，一T S 一一g ：p 一r ，“( i o + 1 ) = o ( 4 - 3 - 1 4 ) 式中 ：v l A t - 6 g ：(4一2 v 2 A t - 6 315)g z 2 v ，2 瓦i 而 。一。At+6 9 2 由( 4 - 3 1 4 ) 式有 l - I T S ，- 1 。Q l + g ：一丁) + 墨+ g 2 X T s 、- 2 一T 2 F ) ( 4 _ 3 - 1 6 ) + g 1 9 2 p
37、一2 T S - 1 + T 2 ) + T Z S _ 2 J 厂舯1 ( i o + 1 ) = 0 根据差分算子定义( 4 3 1 2 ) 式，上式中 舔一”1 1 m 、T 2 i o + 1 ) = 厂”1 ( f 0 ) ( 4 - 3 - 1 7 ) T S 。f “1 ( f o + 1 ) = f ”( i o 一1 ) 于是，由( 4 3 1 7 ) 式可得 尸“瓴絮例吨1：糕(io)。-f“(io+一一1)-。f“(io一-)1卜广。(fo)】(4-3-18)gtgo-1)2ff1 ) 1f o 1 一 ：【，”1 一 ”( f 0 ) + ”1 “+ 一”1 一) 上式
38、即为色散介质中右边界二阶吸收边界的差分形式。 对于左截断边界的吸收边界，根据M u r 吸收边界单向行波解，截断边界 x = 0 处( F D T D 区在x 0 一侧) 的一阶近似吸收边界条件为 ( 瓦0 丢新。= o 件s 郴， 同理可得色散介质中左边界的二阶吸收边界条件 厂”“( f 。) = 2 f ”( i o + 1 ) + G ，+ g ：) 【厂”“o + 1 ) 一厂”( f o ) 一，“( i o + 2 ) + 厂”1 ( f 。+ 1 ) 】 一g 。g ：【厂”“( f 。+ 2 ) 一2 厂”( i o + 1 ) + ，”。1 ( f o ) J f ”。( f
39、 。+ 2 ) ( 4 3 2 0 ) 上式为色散介质中左边界二阶吸收边界的差分形式，其中f n 表示截断边界处节点。 4 3 3 散射传递函数的应用 由图4 8 可知，双指数脉冲具有很长的拖尾，持续时间很长，需要用较长的 时间步完成与散射体的作用过程，为了减少计算时间，可应用散射传递函数减少 计算时间。 考虑图4 9 ( a ) 所示电磁散射问题，设散射体为线性介质，我们可以将其等 价为线性信号系统，如图4 9 ( b ) 所示，系统的输入端为入射波，输出为接收点 的散射场。因而，信号处理中的一些方法可以在这里应用。如果系统的频域传递 特性( 厂) 已知，那么对任意入射波都可以得到相应的散射
40、场。 ；t 媳x 南照参i 、。、t 第四章用z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播4 7 入 f 莉 、_ ，- _ 接收 ( a ) 原问题 线性系统 枷 ( b ) 等价形式 图4 9 电磁散射及其线性系统等价形式 根据信号系统理论，在频域有 E 5 U ) 。E p 归( ，) ( 4 - 3 2 1 ) 其中H ( 厂) 为系统的传递函数，上标“i ”表示入射波，“S ”表示散射波。由于系 统的传递函数日( 厂) 与输入信号无关，因此，对于两次不同入射波情况( 假设分 别为双指数脉冲入射和高斯脉冲入射) ，我们有 E 函”E 洲嬲( 4 - 3 - 2 2 ) 其中下标“
41、D E P ”表示双指数脉冲，“G P ”表示高斯脉冲。上式表明如果以高斯 脉冲作为入射波，并通过其计算得到其响应便可确定双指数脉冲的响应。由于高 斯脉冲和双指数脉冲的频谱硌( 厂) 和E o ( 厂) 为已知，而高斯脉冲的时域响应 E 占尸( f ) 可由F D T D 计算得到，通过傅立叶变换便可得到频域响应 E 品驴) = 刀眩P 刨 ( 4 3 - 2 3 ) 其中F T 表示傅立叶变换。应用( 4 - 3 2 2 ) 式得到双指数脉冲的频域响应E 赫( ，) 。 上述方法称为色散传递函数( S T F ) 法，其求解步骤可归纳如下： 1 ) 给定双指数脉冲，寻找一种合适的高斯脉冲，使
42、其有效频谱范围覆盖双指数 脉冲的有效频谱范围。 2 ) 以高斯脉冲作为入射波应用F D T D 方法计算目标响应，并将结果变换到频域。 3 1 应用( 4 3 2 2 ) 式求双指数脉冲的频率响应，这里为已知。 通常核电磁脉冲可以用双指数脉冲式表示，它具有很长的拖尾，持续时间很 长。而高斯脉冲在取适当参数下比双指数脉冲持续时间短得多，因此用较少的时 间步便可以完成与散射物体的作用过程，从而减少计算时间。 4 3 4 算例 下面看核电辐射在高空中的传播情况，即卫星上接受核电辐射的情况。由于 卫星的高度一般在2 0 0 k i n 以上，所以核电辐射即双指数脉冲的B e l l 波要在电离层 中传
43、播。双指数脉冲在时域的B e l l 波形为 巨( f ) = 以k 。“一e - # t ) ( 4 3 2 4 ) 鹋F D T D 方法在色散介质中的应用 其参数为A 。= 5 2 5 1 0 4 V m ，口= 4 x 1 0 6 J ，= 4 7 6 x 1 0 8 J ，取双指数脉冲B e l l 波形的有效上限频率A 教= 4 0 M H z ，由旯= 孚L = 7 5 m ，可得占= 0 2 5 m ， 有效 西= ：生= O 8 3 1 0 。9 s 。高斯脉冲的时域波形为 2 c o f m ( t - i 1 1 ) 2 E ，O ) = 8 【 一 ( 4 3 2 5
44、) 根据色散传递函数法( S T F ) ，高斯脉冲的有效上限频谱要覆盖双指数脉冲的有效 1 频谱，如图4 1 0 所示。根据三= 厶效= 4 0 M H z ，高斯脉冲的参数取f = 0 5 x 1 0 。s ， f 0 = O 4 1 0 - 7 。高斯脉冲与双指数脉冲的B e l l 波形取一样的时间间隔。用传递函 数法计算核爆炸在高空中的信号和直接计算核爆炸在高空中的信号如图4 1 2 所 示。值得说明的是图4 1 2 中双指数脉冲的B e l l 波形的时域形式和频域形式在真空 中的幅值都除以它们的最大值使其等于1 ( 归一化) 。 ( a ) 高斯脉冲频谱 ( b ) 双指数脉冲频
45、谱 图4 1 0 双指数脉冲和高斯脉冲的频谱 1 01 52 53 0 g u s ( a ) 双指数脉冲在h = 6 2 5 o n 的时域波形 ( b ) ( 曩) 圉的局部放大豳 佃眈眈 言，人)(山 第四章用Z 变换及F D T D 方法计算波在电离层中传播4 9 n 4 0 2 g - 0 0 萋m 寺- o 0 6 4 16 4 2 04 2 44 2 8 t U S ( c ) 双指数脉冲在h = 7 2 5 k m 的时域波形( d ) ( c ) 图的局部放大图 图4 1 1 双指数脉冲的时域波形 f M H z ( a ) 双指数脉冲在高空h = 7 2 5 k m 时的频
46、谱 ( b ) ( a ) 图的局部放大图 一 E 、 一 、 o I H f ，MHz ( c ) 双指数脉冲在高空厅= 9 0 k r a 时的频谱 图4 1 2 双指数脉冲在高窆的频谱 言邕夸。山 佃 舱 管一乙一贬山 5 0F D T D 方法在色散介质中的应用 ! 目_ _ _ _ E | _ I _ 自 i “ lI III _ _ _ _ _ - _ _ _ 自_ | _ _ _ _ 图4 1 l 是双指数脉冲的时域波形，从图中可以看出双指数脉冲在电离层中传 播，波形发生畸变，这是因为双指数脉冲的频带比较宽。不同频率对应的不同的 传播速度引起的。 图4 1 2 是用高斯脉冲作为传
47、递函数计算的结果，图4 1 2 中( a ) 表示双指数 脉冲在离地面h = 7 2 5 k m 的频谱，即核爆炸在高空7 2 5 k m 的频域信号。其中直 线表示直接计算的结果，点表示用高斯脉冲作为传递函数计算的结果。( b ) 是( a ) 图的局部放大图。( c ) 表示双指数脉冲在离地面9 0 k m 的频谱，即核爆炸在高空 9 0 k m 的频域信号，在( c ) 图中点表示用散射传递函数法计算的结果，直线表示 直接用F D T D 方法并通过傅立叶变换得出的结果。 从图4 1 2 中可以看出用散射传递函数法所得结果与直接用F D T D 方法并通过 傅立叶变换所得结果一致。即用散
48、射传递函数法可以由高斯脉冲的时域响应计算 出双指数脉冲的B e l l 波形在电离层中散射的频域响应。因为用散射传递函数法能 省很多时间，比如在图4 1 2 中( c ) 直接用双指数脉冲入射，估计至少需要走1 8 0 0 0 0 步，而采用传递函数法只需要1 2 0 5 0 0 步。从图4 1 1 中可以看出，核爆炸发射的 双指数脉冲在高空电离层中传播，波形会发生变化，还有很大的损耗。 第五章用移位算子处理色散介质中的本构关系 5 1 第五章用移位算子处理色散介质中的本构关系 【提要】若色散介质关于频率函数的复相对介电系数可以表示成以_ ，为自变量的 有理分式函数，根据，国= a a t 过渡到时域。本章引入离散时域移位算予代替时间 微分算子来处理有理分式函数【3 5 4 1 形式的介电系数，进而导出F D T D 中D 一与丘的 关系。 5 1 离散时域含移位算子的本构关系 5 1 1 频域和时域中含F ，算子的本构关系 若色散介质的复介电系数可写为 占= s + ，占”= 占。占，= 占。( 5 ，+ ，s ，”) ( 5 1