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1、概率、随机变量及其分布列,主干知识整合,2常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中0p1),3离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量的分布列为 则称E()x1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望 D()x1E()2p1x2E()2p2xnE()2pn叫做随机变量的方差,高考热点讲练,【答案】 C,【归纳拓展】 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域,变式训练1 已知圆C：x2y212，直线l
2、：4x3y25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为_； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_,一个袋中装有大小相同的10个球，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个 (1)求连续取两次都是红球的概率； (2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率,变式训练2 有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个朝下的面上的数字之和 (1)求事件“m不小于6”的概率； (2)“m为奇数”的概率与“m为偶数”的概率是否相等？并给出说明,某市公租房的房源
3、位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1) 没有人申请A片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率,【归纳拓展】 (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解，对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解,变式训练3 甲袋中装有若干质地、大小相同的黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑球、红球某
4、人有放回地从两袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其他球得零分，规定他最多取3次，如果前两次得分之和超过2分即停止取球，否则取第三次取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在甲袋中取到一个黑球的概率为q，在乙袋中取到一个黑球的概率为0.8，用表示他取球结束后的总分，已知P(1)0.24.,(1)求q的值； (2)试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超过1分与选择上述方式取球得分超过1分的概率的大小,解：(1)依题意，得(1q)0.80.2(1q)0.20.80.24，解之，得q0.25. (2)设此人按题中方式取球结束后得n分的概率为Pn. P2
5、0.25(10.8)(10.8)(10.25)0.80.80.49， P30.250.80.250.20.80.24. 若用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过1分”，用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过1分”，则,P(A)P2P30.490.240.73， P(B)0.80.80.230.80.80.80.896. 故P(B)P(A)，即该人选择每次在乙袋中取球得分超过1分的概率大于该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过1分的概率,【归纳拓展】 (1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各
6、类求概率的公式，求出概率 (2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布(或两点分布)，则可直接使用公式求解,考题解答技法,(本题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：,且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值； (2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等
7、级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；,(2)由已知得，样本的频率分布表如下： 5分 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 6分,【得分技巧】 第(1)问中利用已知条件列出关于a，b的等式关系，第(2)问中正确写出分布列，再求出E(X2)的值，第(3)问利用题中公式求其性价比 【失分溯源】 在解答本题时，常出现以下失分的情况：(1)未考虑分布列的性质，从而不能列出方程组，也就无法求得a，b的值；(2)在列频率分布表时，由于不仔细，个别数字出错，导致无法得分,变式训练 某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布列如下： (1)求a的值和的数学期望； (2)假设第一年和第二年该地区遭到暴雨袭击的次数互不影响，求这两年内该地区共遭到暴雨袭击2次的概率,解：(1)由概率分布列的性质，知0.10.32aa1，解得a0.2， 的概率分布列为 E()00.110.320.430.21.7.,