北航材料力学答案.pdf

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1、 1 第八章 复杂应力状态强度问题 第八章 复杂应力状态强度问题 题号 页码 题号 页码 8-4.1 8-5.3 8-8.4 8-9.5 8-10.6 8-14.7 8-16.10 8-17.11 8-18.13 8-19.15 8-22.17 8-23.17 8-24.18 8-25.18 8-26.19 8-27.21 (也可通过左侧题号书签直接查找题目与解) (也可通过左侧题号书签直接查找题目与解) 8-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力 r3 ， 弹性常数， 弹性常数 E 和和均 为已知。 均 为已知。 (a) 棱柱体轴

2、向受压；棱柱体轴向受压； (b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。棱柱体在刚性方模中轴向受压。 题题 8-4 图图 (a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a） ，三个主应力依次为 解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a） ，三个主应力依次为 = 321 0， 由此可得第三强度理论的相当应力为 由此可得第三强度理论的相当应力为 课后答案网 课后答案网 2 = 31r3 (a) (a) (b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b） ，可先取受力微体及坐标如 图 8-4 所示，然后计算其应力。 解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b） ，可先取受力微体及坐标如

3、图 8-4 所示，然后计算其应力。 由图 8-4 可得 由图 8-4 可得 y= 根据刚性方模的约束条件，有 根据刚性方模的约束条件，有 0)( 1 =+= zyxx E 即 即 )( zyx += 注意到 注意到 xz = 故有 故有 zx = 1 三个主应力依次为 三个主应力依次为 = = 321 1 ， 由此可得其相当应力为 由此可得其相当应力为 = 1 21 31r3 (b) 比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为 (b) 比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为 r b a 21 1 )r3( )r3( = 1r，这表明加刚性方模后对棱柱

4、体的强度有利。 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。 课后答案网 课后答案网 3 8-5 图示外伸梁，承受载荷图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力作用，许用应力=170MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。 。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。 题题 8-5 图图 解：1.内力分析 由题图可知， 解：1.内力分析 由题图可知， + B截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 mN10807m6000N10130 kN130 43 2s =

5、FlMFF， 2几何量计算 2几何量计算 34324 max, )( 343 )( 343 5 454 33 m1090. 2m)0137. 0140. 0(0085. 0 2 1 1023. 2 2m1023. 2)m 2 0137. 0 140. 0(0137. 0122. 0 m1005. 5m 140. 0 1007. 7 m1007. 7m 12 )0137. 02280. 0()0085. 0122. 0( 12 280. 0122. 0 =+= = = = = = z azbz z z S SS W I 式中的足标 式中的足标b，系指翼缘与腹板的交界点，足标，系指翼缘与腹板的交界

6、点，足标a系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点 （ 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点 （a、b和和c）示如图 8-5。 ）示如图 8-5。 3应力计算及强度校核 点 3应力计算及强度校核 点a的正应力和切应力分别为 的正应力和切应力分别为 MPa 9614Pa 10496. 1 m0137. 01007. 7 N10115. 110130 MPa 5154Pa 10545. 1 m1005. 5 N1080. 7 7 25 43 )(s 8 24 4 . tI SF . W M z az z = = = = 该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 该点处于单向与纯

7、剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 课后答案网 课后答案网 4 MPa4 .157MPa96.1445 .1544 2222 3 ，且与 课后答案网 课后答案网 20 题题 8-26 图图 提示：由于提示：由于 21 ，故当温度升高时，环间出现径向压力，故当温度升高时，环间出现径向压力 p，外环周向受拉，内环周向 受压，但二环仍应紧贴在一起。 ，外环周向受拉，内环周向 受压，但二环仍应紧贴在一起。 解：内、外环的受力情况示如图 8-26(a)和(b)。 解：内、外环的受力情况示如图 8-26(a)和(b)。 设铜环的轴力（绝对值）为 设铜环的轴力（绝对值）为 N1 F，钢

8、环的轴力为，钢环的轴力为 N2 F，由图(c)、(d)所示各半个薄圆环的 平衡条件可得 ，由图(c)、(d)所示各半个薄圆环的 平衡条件可得 2 N2N1 pD FF= (a) 变形协调条件为 (a) 变形协调条件为 21 DD= (b) 物理关系为 (b) 物理关系为 += = 22 N2 22 11 N1 11 AE DF TDD AE DF TDD (c) 将式(c)代入式(b)，得 (c) 将式(c)代入式(b)，得 2 2t 1 1t 22 N2 11 N1 21 )( E E AE F AE F T+=+= (d) 由式(a)可知， (d) 由式(a)可知， 1 2 1 2 2t

9、1t 22t11t A A AA=， 即即 课后答案网 课后答案网 21 2t 1 2 1t = (e) 将方程将方程(e)与方程与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为 T EE EE T EE EE )( )( 2211 12121 2t 2211 22121 1t + = + = (g) (f) 式式(f)亦可写成亦可写成 T EE EE )( 2211 22112 1t + = ) (f 8-27 图示薄壁圆筒，同时承受内压图示薄壁圆筒，同时承受内压 p 与扭力矩与扭力矩 M 作用，由实验测得筒壁沿轴向及 与轴线成 作用，由实

10、验测得筒壁沿轴向及 与轴线成 450方位的正应变分别为方位的正应变分别为 00 450 和。试求内压。试求内压 p 与扭力矩与扭力矩 M 之值。筒的内径之值。筒的内径 D、壁 厚 、壁 厚、材料的弹性模量、材料的弹性模量 E 与泊松比与泊松比均为已知。均为已知。 题题 8-27 图图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 8-27 所示。 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 8-27 所示。 图中所示各应力分量分别为 图中所示各应力分量分别为 D M T pD pD x 2 t 2 224 =；， 由此可得 由此可得 pD pD x =+= + 8 3 8 3 4545 t 900 oooo ；

11、， 根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为 课后答案网 课后答案网 22 8 )3(1 )12( 1 1 4 )2(1 1 2 454545 t 0 pD D M E E E pD E x + + = = + ooo o (b) (a) 由式(a)可得圆筒所承受的内压为 由式(a)可得圆筒所承受的内压为 o 0 )21 ( 4 D E p = (c) 将式(c)代入式(b)，可得扭力矩为 将式(c)代入式(b)，可得扭力矩为 )1 ( 3)212( )21)(14( 045 2 oo ED M + = 课后答案网 课后答案网 1 第二章 轴向拉压应力与

12、材料的力学性能 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 题号题号 页码页码 2-3.1 2-5.2 2-7.2 2-9.3 2-10.3 2-15.4 2-16.5 2-18.6 2-19.7 2-21.7 2-22.8 （也可通过左侧题号书签直接查找题目与解） （也可通过左侧题号书签直接查找题目与解） 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积图示轴向受拉等截面杆，横截面面积 A=500mm2，载荷，载荷 F=50kN。试求图示斜截 面 。试求图示斜截 面 m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。 题题 2-3 图图 解

13、：该拉杆横截面上的正应力为 解：该拉杆横截面上的正应力为 100MPaPa10001 m10500 N1050 8 26 3 = =. A F 斜截面 斜截面 m-m 的方位角的方位角， o 50=故有故有 MPa341)50(cosMPa100cos 22 .= o MPa249)100sin(MPa502sin 2 . = o 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 MPa100 max = MPa50 2 max = 课后答案网 课后答案网 2 2-5 某材料的应力某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定 材料的弹性模量

14、应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定 材料的弹性模量 E、比例极限、比例极限 p 、屈服极限、屈服极限 s 、强度极限、强度极限 b 与伸长率与伸长率，并判断该材料属于 何种类型（塑性或脆性材料） 。 ，并判断该材料属于 何种类型（塑性或脆性材料） 。 题 题 2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。 解：由题图可以近似确定所求各量。 220GPaPa10220 0.001 Pa10220 9 6 = = E MPa220 p ， MPa240 s ， MPa440 b ， % 7 . 29 该材料属于塑性材料。 该材料属于塑性材料。 2-7 一圆截面杆，材料的应力一圆截面

15、杆，材料的应力-应变曲线如题应变曲线如题 2-6 图所示。若杆径图所示。若杆径 d =10mm，杆长，杆长 l =200mm，杆端承受轴向拉力，杆端承受轴向拉力 F = 12kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。若 轴向拉力 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。若 轴向拉力 F=20kN，则当拉力作用时与卸去后，杆的轴向变形又分别为何值。，则当拉力作用时与卸去后，杆的轴向变形又分别为何值。 题题 2-6 图图 解：解：1. .kN12=F时 时 152.8MPaPa105281 m0.010 N10124 8 22 3 = =. A F 课后答案网 课后答案网 3 查题

16、 2-6 图查题 2-6 图 曲线，知该杆的轴向应变为 曲线，知该杆的轴向应变为 %22000220= 拉力作用时，有 拉力作用时，有 mm440m104400220m)2000( -4 ll= 拉力卸去后， 拉力卸去后，0 =l 2. 2.kN20=F时 时 255MPaPa10552 m0.010 N10204 8 22 3 = =. A F 查上述 查上述 曲线，知此时的轴向应变为 曲线，知此时的轴向应变为 %39000390= 轴向变形为 轴向变形为 mm780m108700390m)2000( -4 ll= 此拉力卸去后，有 此拉力卸去后，有 003640 e . =，000260

17、p . = 故残留轴向变形为 故残留轴向变形为 0.052mmm105.2000260(0.200m) -5 p =.ll 2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷图示含圆孔板件，承受轴向载荷 F 作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考 虑应力集中） 。已知载荷 作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考 虑应力集中） 。已知载荷 F =32kN，板宽，板宽 b =100mm，板厚，板厚=15mm，孔径，孔径 d =20mm。 题题 2-9 图图 解：根据解：根据20m)1000m/(0200.b/d=，查书中图 2-25(a),得 ，查书中图 2-25(a),得 422.K 根据 根据 db F )

18、( n =， n max K = 得 得 64.5MPaPa10456 0.015m0.020)(0.100 N1032422 )( 7 2 3 nmax = = =. . db KF K 2-10 图示板件，承受轴向载荷图示板件，承受轴向载荷 F 作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应 课后答案网 课后答案网 4 力集中） 。已知载荷力集中） 。已知载荷 F=36kN，板宽，板宽 b1=90mm，b2=60mm，板厚，板厚=10mm，孔径，孔径 d =10mm， 圆角半径 ， 圆角半径 R =12mm。 题题 2-10 图图 解：1.在圆孔处

19、 根据 解：1.在圆孔处 根据，11110m/(0.090m)0100 1 b/d=查图 2-25(a)，得查图 2-25(a)，得62 1 .K ，故有 ，故有 117MPaPa1017. 1 m010 . 0 )010. 0090. 0( N10366 . 2 )( 8 2 3 1 1 n1max 1 = = db FK K 2在圆角处 根据 2在圆角处 根据1.5m/(0.060m)090. 0/ 21 =bbdD及及m/(0.060m)012. 0/ 2 =bRdR 0.2，查图 2-25(b)，得 0.2，查图 2-25(b)，得 74. 1 2 K 故有 故有 104MPaPa10

20、041 0.010m0.060 N1036741 8 2 3 2 2 n2max 2 = =. . b FK K 3.结论 3.结论 MPa117 max =（在圆孔边缘处） （在圆孔边缘处） 2-15 图示桁架，承受载荷图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为作用，已知杆的许用应力为。若在节点。若在节点 B 和和 C 的 位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的 的 位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点值（即确定节点 A 的最佳位置） 。的最佳位置） 。 题题 2-15 图图 解：1.求各杆轴力 设杆 解：1.求各杆轴力 设杆AB和和BC的轴力分别为的轴力分

21、别为 N1 F和和 N2 F，由节点，由节点 B 的平衡条件求得 的平衡条件求得 课后答案网 课后答案网 5 FF/FFctansin N2N1 =， 2.求重量最轻的 2.求重量最轻的值 由强度条件可得 值 由强度条件可得 F A F Actan sin 21 =， 结构的总体积为 结构的总体积为 )ctan sin2 2 ( F ctan cossin 2211 l Fl l F lAlAV+=+=+= 由 由 0 d d = V 得 得 01cos3 2 = 由此得 由此得 4454= o 这是使结构体积最小、也就是重量最轻的 这是使结构体积最小、也就是重量最轻的值。 值。 2-16

22、 图示桁架，承受载荷图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为作用，已知杆的许用应力为。若节点。若节点 A 和和 C 间的 指定距离为 间的 指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。的最佳值。 题题 2-16 图图 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称，故有 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称，故有 F FF sin2 N2N1 = 2.求 2.求的最佳值 由强度条件可得 的最佳值 由强度条件可得 F AA sin 2 21 = 结构总体积为 结构总体积为 课后答案网 课后答案网 6 Fl l F lAV sin2cos2sin 2

23、11 = 由 由 0 d d = V 得 得 0cos2 = 由此得 由此得 o 45= 此 此值可使本桁架结构重量最轻，故为值可使本桁架结构重量最轻，故为的最佳值。 的最佳值。 2-18 图示摇臂， 承受载荷图示摇臂， 承受载荷 F1与与 F2作用。 试确定轴销作用。 试确定轴销 B的直径的直径 d。 已知载荷。 已知载荷F1=50kN， F2=35.4kN，许用切应力，许用切应力=100MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs =240MPa。 题题 2-18 图图 解：1.求轴销处的支反力 由 解：1.求轴销处的支反力 由0= x F求得 求得 kN25cos45 21 = o FFFB

24、x 由 由0= y F求得 求得 kN25sin45 2 = o FFBy 轴销处的总支反力为 轴销处的总支反力为 kN435kN2525 22 .FB=+= 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 2 2 s d F A F B = 得 得 m0150m 10100 10 4 . 352 2 6 3 . F d B = = 由轴销的挤压强度条件 由轴销的挤压强度条件 课后答案网 课后答案网 7 bs b bs d F d F B = 得 得 m014750m 102400100 10435 6 3 bs . .

25、. F d B = = 结论：取轴销直径 结论：取轴销直径15mmm015. 0=d。 。 2-19 试画题试画题 2-1 所示各杆的轴力图。所示各杆的轴力图。 解：各杆的轴力图如图 2-19 所示。 解：各杆的轴力图如图 2-19 所示。 2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷 F = 45kN 作 用。已知木杆的截面宽度 作 用。已知木杆的截面宽度 b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力，沿木纹方向的许用拉应力=6MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs =10MPa，许用切应力，许用切应力=1MPa。试

26、确定钢板的尺寸。试确定钢板的尺寸与与 l 以及木杆的高度以及木杆的高度 h。 题题 2-21 图图 解：由拉伸强度条件 解：由拉伸强度条件 2 )h(b F = 课后答案网 课后答案网 8 得 得 0.030mm 1062500 1045 2 6 3 = = .b F h （a） 由挤压强度条件 （a） 由挤压强度条件 2 bsbs b F = 得 得 mm9m0090m 101025002 1045 2 6 3 bs = =. .b F （b） 由剪切强度条件 （b） 由剪切强度条件 2 bl F = 得 得 mm90m0900m 101250. 02 1045 2 6 3 = =. b

27、 F l 取 取m0090.=代入式（a） ，得 代入式（a） ，得 48mmm0480m009020300=+.)(h 结论：最后确定 结论：最后确定mm9，mm90l，mm48h。 。 2-22 图示接头，承受轴向载荷图示接头，承受轴向载荷 F 作用。试计算接头的许用载荷。已知铆钉直径作用。试计算接头的许用载荷。已知铆钉直径 d=20mm，许用应力，许用应力=160MPa，许用切应力，许用切应力=120MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs =340MPa。 板件与铆钉的材料相同。 。 板件与铆钉的材料相同。 题题 2-22 图图 课后答案网 课后答案网 9 解：1.考虑板件的拉伸强

28、度 由图 2-22 所示之轴力图可知， 解：1.考虑板件的拉伸强度 由图 2-22 所示之轴力图可知， 4/3 N2N1 FFFF=， )( 1 N1 1 db F A F = 432kNN104.32N101600150)02002000()( 56 =-.dbF )2(4 3 2 N2 2 db F A F = 512kNN105.12N101600150)04002000( 3 4 )2( 3 4 56 =.dbF 2.考虑铆钉的剪切强度 2.考虑铆钉的剪切强度 8/ s FF = 8 4 2 s d F A F = 302kNN10023N10120020022 5622 =dF 3考

29、虑铆钉的挤压强度 3考虑铆钉的挤压强度 4 4/ bs b bs b d F d F FF = = kN408N1008. 4N103400.0200.01544 56 bs =dF 结论：比较以上四个结论：比较以上四个F值，最后确定值，最后确定kN302=F。 。 课后答案网 课后答案网 1 第九章 压杆稳定问题 第九章 压杆稳定问题 题号 页码 题号 页码 9-1.1 9-3.2 9-4.3 9-7.4 9-8.5 9-10.6 9-11.8 9-13.9 9-15.11 9-18.12 9-19.13 9-20.13 9-21.15 9-23.17 (也可通过左侧题号书签直接查找题目

30、与解) (也可通过左侧题号书签直接查找题目与解) 9-1 在分析人体下肢稳定问题时，可简化为图示两端铰支刚杆在分析人体下肢稳定问题时，可简化为图示两端铰支刚杆-蝶形弹簧系统，图中 的 蝶形弹簧系统，图中 的 k 代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力矩。试求该系统的临界载荷代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力矩。试求该系统的临界载荷 Fcr。 题题 9-1 图图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 9-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 9-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为2， 由上段刚杆的力矩平衡方程 ， 由上段刚杆的力矩平衡方程 课后答案网 课后答

31、案网 2 0) 2 ()2(= l Fk 得 得 l k F 4 = 即 即 l k F 4 cr = 9-3 图示结构，图示结构，AB 为刚性杆，为刚性杆，BC 为弹性梁，在刚性杆顶端承受铅垂载荷为弹性梁，在刚性杆顶端承受铅垂载荷 F 作用。 试求其临界值。设梁 作用。 试求其临界值。设梁 BC 各截面的弯曲刚度均为各截面的弯曲刚度均为 EI 。 题题 9-3 图图 解：结构的临界状态示如图 9-3。 解：结构的临界状态示如图 9-3。 课后答案网 课后答案网 3 使梁 使梁B端截面产生转角端截面产生转角 B 的力矩应为 的力矩应为 B l EI M 3 e = 而 而 )( e aFM

32、 B = 由此得 由此得 al EI F 3 = 即 即 al EI F 3 cr = 9-4 图示刚性杆图示刚性杆 AB，下端与圆截面钢轴，下端与圆截面钢轴 BC 相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持 稳定平衡，试确定轴 相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持 稳定平衡，试确定轴 BC 的直径的直径 d。已知。已知 F = 42kN，切变模量，切变模量 G = 79GPa。 题题 9-4 图图 解：刚性杆解：刚性杆AB在微偏斜（设偏斜角为在微偏斜（设偏斜角为，见图 9-4）状态下处于平衡，此时加给轴，见图 9-4）状态下处于平衡，此时加给轴BC 课后答案网 课后答案网 4 的扭力矩为 的扭力矩

33、为 aFMB= 而 而 p GI Tl = 注意到 注意到 B MT =，于是得 ，于是得 al GI F p = 即 即 al Gd al GI F 32 4 p cr = 由此得（题中给出 由此得（题中给出F=42kN） 30mm0.030mm 1079 1042300. 0500. 032 32 44 9 3 cr = = G alF d 9-7 试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。为常数。 题题 9-7 图图 课后答案网 课后答案网 5 (a)解：该细长压杆的微弯状态如图 9-7(a)所示。 解：该

34、细长压杆的微弯状态如图 9-7(a)所示。 对比两端铰支细长压杆的微弯状态(见书中图 9-5)，这里半个正弦波相应的长度为 对比两端铰支细长压杆的微弯状态(见书中图 9-5)，这里半个正弦波相应的长度为2/l， 即相当长度为 ， 即相当长度为 5050.l.l=， 其临界载荷为 其临界载荷为 2 2 2 2 cr 4 )50( l EI l. EI F= (b)解：该细长压杆的微弯状态如图 9-7(b)所示。 解：该细长压杆的微弯状态如图 9-7(b)所示。 对比书中图 9-5 所示的微弯状态，这里半个正弦波相应的长度为 对比书中图 9-5 所示的微弯状态，这里半个正弦波相应的长度为l（看两个

35、拐点之间的长 度） ，即 （看两个拐点之间的长 度） ，即 1，ll = 其临界载荷为 其临界载荷为 2 2 cr l EI F= 9-8 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为 EI，且均为细长杆。试问当载荷，且均为细长杆。试问当载荷 F 为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷 F 的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷 F 又为何值？又为何值？ 题题 9-8 图图 课后答案网 课后答案网 6 解：1.当解：1.当F向外时 竖向杆 向外时 竖向杆CD受压，其余四根杆受拉。

36、 设杆 受压，其余四根杆受拉。 设杆CD编号为 5，则有 编号为 5，则有 FF= N5 由此得 由此得 2 2 2 2 cr 2 )2( l EI l EI F= 2.当 2.当F向内时 此时 5 号杆受拉，其余各杆（编号 1，2，3，4）受压。且 向内时 此时 5 号杆受拉，其余各杆（编号 1，2，3，4）受压。且 2 N4N3N2N1 F FFFF= 由此得 由此得 2 2 2 2 cr 2 ) (2 l EI l EI F= 9-10 图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的弹 簧支持。试证明压

37、杆的临界载荷满足下述方程： 的弹 簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程： 0 2 cos 4 1 22 sin 2 sin 2 = kl cl EIkklklkl 式中，式中，)/(EIFk =。 题题 9-10 图图 解：该细长压杆的微弯状态如图 9-10 所示。 解：该细长压杆的微弯状态如图 9-10 所示。 按图中所取坐标，有 按图中所取坐标，有 222111 2 )( 2 )(Fwx F xMFwx F xM cc =， 课后答案网 课后答案网 7 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 xk F F wkwxk F F wkw cc =+ =+ ， 式中， 式中， EI

38、F k= 2 通解为 通解为 111111 2 cossinx F F kxBkxAw c += 222222 2 cossinx F F kxBkxAw c += 当 当000 111 =Bwx， 当 当000 222 =Bwx， 当 当 212121 2 ww c F ww l xx c =， 或写成 或写成 =+ =+ =+ F Fkl kA F Fkl kA c F F lFkl A c F F lFkl A cc cc cc 22 cos 22 cos 42 sin 42 sin 21 2 1 重排一下，得 重排一下，得 =+ =+ =+ 0 1 ) 2 cos() 2 cos( 0

39、) 1 4 () 2 (sin0 0) 1 4 (0) 2 (sin 21 2 1 c c c F F A kl kA kl k F cF l A kl F cF l A kl 这里， 这里， c FAA和、 21 不可全为零，必要求其系数行列式为零，即 不可全为零，必要求其系数行列式为零，即 0 1 2 cos 2 cos ) 1 4 ( 2 sin 0 ) 1 4 ( 0 2 sin = F kl k kl k cF lkl cF lkl (1) (2) (3) 课后答案网 课后答案网 8 展开上列行列式，并注意到展开上列行列式，并注意到 2 EIkF =，可得 ，可得 0 2 )co

40、s 2 2 ( 2 sin 2 sin 1 2 2 = kl c EIkl k klkl EIk 或简化成 或简化成 0 2 )cos 4 1 ( 22 sin 2 sin 2 = kl cl EIkklklkl 9-11 图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与与 EI2 。试证 明压杆的临界载荷满足下述方程： 。试证 明压杆的临界载荷满足下述方程： 1 2 21 tantan k k lklk= 式中： 式中：)/(; )/( 2211 EIFkEIFk=。 。 题 题 9-11 图 解:该压杆的微弯状态如图 9

41、-11 所示。按图中所取坐标，有 图 解:该压杆的微弯状态如图 9-11 所示。按图中所取坐标，有 )()()()( 2211 wFxMwFxM=， 进而可得 进而可得 kwkwkwkw 2 22 2 22 2 11 2 11 =+ =+ ， 式中， 式中， 2 2 2 1 2 1 EI F k EI F k=， 以上二微分方程的通解为 以上二微分方程的通解为 xkBxkAw xkBxkAw += += 2222222 1111111 cossin cossin 定未知常数的条件为 定未知常数的条件为 课后答案网 课后答案网 9 wlx wwww x lx wwx = = = = = 22

42、 2121 2 1 111 0 000 ， ， ， 由这些条件依次得到 由这些条件依次得到 )c ( 0cossincossin b sinsin a(coscos 00 0 22222222 1 2 1 222111 1221 111 11 =+=+ = =+=+ = =+ lkBlkAlkBlkA lk k k AkAlkkB lkBBlk AAk BB ）（ ） 将式( 将式(a)和()和(b b)代入式()代入式(c c)，得到 )，得到 1 2 21 tantan k k lklk= 9-13 图示结构，由横梁图示结构，由横梁 AC 与立柱与立柱 BD 组成，试问当载荷集度组成，试问

43、当载荷集度 q =20N/mm 与与 q =26N/mm 时， 截面时， 截面 B 的挠度分别为何值。 横梁与立柱均用低碳钢制成， 弹性模量的挠度分别为何值。 横梁与立柱均用低碳钢制成， 弹性模量 E = 200GPa， 比例极限 ， 比例极限 p =200MPa。 题题 9-13 图图 解：1.求立柱解：1.求立柱BD的临界载荷的临界载荷 cr F 给立柱和梁编号分别为 给立柱和梁编号分别为1和和2，我们有 ，我们有 3 .99 10200 10200 6 9 p p = = E 0.010mmm10 4 1 1 = d A I i p 200 010 . 0 00 . 2 1 i l = = 课后答案网 课后答案网 10 立柱立柱BD为大柔度杆，其临界载荷为 为大柔度杆，其临界载荷为 kN013.62N102013. 6N 64 0.040 00. 2 10200 4 4 2 92 2 1 1 2 cr = = l EI F 2.计算 2.计算 cr q 这里的 这里的 cr q系指使立柱刚刚到达系指使立柱刚刚到达 cr F时的时的q值，立柱值，立柱BD还处在直线平衡状态。还处在直线平衡状态。B处的变 形协调条件为 处的变