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1、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,8.7 方向导数和梯度,问题的提出,8.7.1 方向导数,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,（如图）,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,定义,方向导数.,沿任意方向的方向导数存在不能保证偏导数存在,反之也然。,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向
2、导数,解,解,由方向导数的计算公式知,故,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,8.7.2 梯 度,（grad是gradient（梯度）的缩写）,对于二元函数,梯度的性质：,(1) 梯度的方向是函数增长最快的方向.,结论,此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,例如： 函数,如图所示.,在几何上 表示一个曲面,梯度与等高线的关系：,梯度的方向与过点P的等高线上的法向量的一个方向相同，且指向等高线(函数值)增加的方向.,又由于沿梯度方向 的方向导数,等高线的画法,播放,例如,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,小 结,思考题解答,思考题,练 习 题,练习题答案,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,