第4章Cohen类时-频分布.ppt

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1、第4章 Cohen类时频分布,4.1 前言 4.2 Wigner分布与模糊函数 4.3 Cohen类时频分布 4.4 时频分布所希望的性质 及核函数的制约 4.5 核函数对时频分布中 交叉项的抑制 4.6 减少交叉项干扰的核的设计,4.1 前言,1966年，Cohen给出了时频分布的更一般表示 形式： 式中 称为时频分布的核函数，也可以理解 为是加在原Wigner分布上的窗函数。不同的 ， 可以得到不同类型的时频分布。 目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频 分布都可以看作是Cohen类的成员。,4.2 Wigner分布与模糊函数,模糊函数定义 令 为一复信号，由定义 的瞬时自相关函数为 （

2、4.2.1） 并定义 相对 的傅立叶变换 （4.2.2） 为 的WVD。,的对称模糊函数 定义为 相对变 量 的傅立叶逆变，即： （4.3.3） 由（4.2.3）式，有 (4.2.4） 对该式两边取相对变量 的傅立叶变换，立即可得 （4.2.5） 该式说明，信号的WVD是其AF的二维傅立叶变换。,令 为一复信号，定义 ， 分别是作正、 负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即： （4.2.6a） （4.2.6b） 式中为时移，为频移，显然 (4.2.7） 即：模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的 内积。,模糊函数的含义,当将信号 发射出去并由一固定目标作 无失真反射回来时，反射信号应是

3、。 通过估计时间可知道从信号发射点到目标的 距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还 将产生频移，即接受到的信号应是 。 因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作 用。,模糊函数的性质：,.若 ， 则 （4.2.8） 2. 若 ， 则 （4.2.9） 的最大值始终在平面 的原点，且该最大值即 是信号的能量，即： （4.2.10） 如果我们再定义 （4.2.11）,为 的“瞬时”谱自相关，式中为的FT，则： （4.2.12） （4.2.13） 且 （4.2.14）,WVD和AF的本质区别： 不论 是实信号还是复信号，其WVD始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。 两个信号 ， 的互WVD满足 （4

4、.2.15a） 而其互AF不存在上述关系，即 （4.2.15b）,WVD和AF分别处在不同的“域”： ：时频域，对应 ：瞬时自相关域，对应 ：“瞬时”谱自相关域，对应 ：模糊函数域，对应 之所以称 为“模糊函数”，是因为 和 分 别对应了频域的“频移”和时域的“时移”。,图4.2.1 WVD和AF的关系,举例说明 和 在 和 平面上的位置的不同 例4.2.1 令 （4.2.16） 我们在例3.3.5中已求出其WVD是 （4.2.17） 同样可求出其模糊函数是 （4.2.18）,分析结论： （1） 是实函数，而 是复函数； （2） 的中心在 处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受 的控制； 的

5、中心在 处，其幅值也是高斯型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在 和 轴方向上的震荡频率由 和 所控制。这就是说， 和 并不影响 的中心位置，影响的只是其震荡速度。,例4.2 令 （4.2.19） 其模糊函数（AF）： (4.2.20) 及 是 的AF的互项，其中： （4.2.21） 式中 ， ， ， 因此 的中心为 的中心为,4.2.2 x(t) 的模糊函数与时频分布, (a) 模糊函数, (b) 时频分布,将WVD的互项及（4.2.21）式均写成极坐标的形式，即： （4.2.22a） （4.2.22b） 由（4.2.21）式，有 （4.2.23a） 由（3.5.2）式，有 （4.2.23

6、b）,上式结果表明： WVD互项的相位对 和 的偏导数分别对应于该信 号模糊函数的互项的中心坐标，即 。AF中互项的位 置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。WVD中交叉项震 荡越厉害，那么，AF中互项的中心距 平面的原点越 远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判断WVD互 项的震荡程度。,WVD和AF各自互项与自项的位置及它们互项间的关 系提供了一个抑制WVD中交叉项的有效途径，即： （1）首先对 求模糊函数，由于 的自项始终在平面 的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个 平面的低通滤波器对 滤波，从而有效地抑制了 中的交叉项； （2）对滤波后的AF按（4.2.5）式作二维傅立

7、叶变换，得到 。这时 的已是被抑制了交叉项的新WVD。,AF中越是远离原点的交叉项，在 的作用下，抑制的效果越明显。,图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图,4.3 Cohen类时频分布,时频分布形式 令 ，Cohen类分布的统一表示形式变为 （4.3.1） 即Wigner分布是Cohen类的成员，且是最简单的一种。,Rihaczec分布 Page分布 ChoiWillams分布 BornJordan分布,Cohen类分布的其它表示形式 1、用 的频谱 表示，即 2、用模糊函数表示 （4.3.2） （4.3.3） 3、用WVD表示 （4.3.4）,4、用广义模糊函数表示 在（

8、4.3.3）式中，定义 （4.3.5） 为信号的广义模糊函数，那么 （4.3.6） 5、用广义时间相关表示 定义时间自相关域的核函数为： （4.3.7） 则广义时间自相关定义为： （4.3.8）,（4.3.9） 6、用广义谱自相关表示。定义 （4.3.10） 为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为： （4.3.11） 这样， 可表为 的傅立叶逆变换，即： （4.3.12）,Cohen类时频分布的六种表达形式，归纳起来可分为四类： 和 在域 内的卷积（4.3.4）； 广义模糊函数的 傅立叶变换（4.3.5）、（4.3.6）及（4.3.3）； 瞬时时间自相关 和时间自相关域核函数 在t方向上

9、卷积后的 傅立叶变换(4.3.7）（4.3.9）； 瞬时谱自相关 和谱自相关域核函数 在 方向上卷积的傅立叶变换（4.3.10）（4.3.12）。,由Moyals公式，可以证明，图谱也是Cohen 类的成员，即： （4.3.13） 式中 是作STFT时所用时域窗函数 的WVD。比 较（4.3.4）式， 对应 ，它应是某一模 糊函数的2-D傅立叶变换。,表4.3.1 已知时频分布及其核函数,4.4 时频分布所希望的性质及 对核函数的制约,由表4.3.1可以看出，给出不同的核函数可以得 到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析， 可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分 布，对核函数施加一

10、些制约条件，有可能得到我们所 希望的时频分布的性质。表4.4.1列出了这些性质 及对核函数的制约 。,表4.4.1 所希望的时频分布的性质及对核函数的制约,表4.4.2 六个时频分布满足性质情况比较,Y-Yes,性质 及对核函数 的要求 给出一些解释 ，时频分布的非负性，即 但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性 质。如表4.4.2中的六个分布，只有谱图总是正的。 条件 指出，若想保证Cohen类的某一成员是恒正 的分布，则 应是某一函数的模糊函数。,实值性，即 ， ： 证明：由（4.1.1）式， 令 ， ，则上式变为 显然，如要求 ，必有,时移： ：若 ，则 ： 不决定于 证明：因

11、为 处于 域，和t无关，所以它不影 响分布的时移性质； 频移： ：若 ，则 ： 与无关 性质 与 称为Cohen类时频分布的 “移不变”性质，它包含了时移和频移 。,时间边缘条件，即 ： ： 频率边缘条件，即 ： ：,瞬时频率与 的关系，即 ： ： 及 群延迟与 的关系，即 ： ： 及,时域支撑范围，即 ：若 时， ，希望 ，对 ： 频域支撑范围，即 ： 若 时， ，希望 ： ：减少交叉项干扰 ： 是 平面上的2D低通函数。,给定一个信号 ，记其时频分布为 。假定 在 和 的范围内为零，若 在 和 的范 围内也为零，则 称具有弱有限时间支撑性质。同理， 假定 在 之外为零，若 在 也为 零，则

12、称 具有弱有限频率支撑性质。 和 指的是 弱有限支撑。 若信号 分段为零， 在 为零的区间内也为 零，则 称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含 义是：只要 为零，在所对应的时间段内 恒为零。 同理可定义强有限频率支撑。,4.5核函数对时频分布中交叉项的抑制,单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的 时刻，该信号的瞬时频率 是单值的还是多值的。 一个多分量信号又可表为单分量的和，即： (4.5.1) 式中 都是单分量信号，因此 （4.5.2),相应的时频分布 （4.5.3） 也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真 正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。 减轻 中交叉项的一个有

13、效途径是通过的模糊 函数来实现。 的广义模糊函数： （4.5.4） 核函数 取平面 上的2-D低通函数。可去除 或抑制时频分布中的交叉项。,举例说明核函数 对交叉项的效果 例 指数核 （4.5.7) 其相应的TF分布称为指数分布（ED），属于Cohen类。 显然 ， ，且当 和 同时不为零 时 。 为常数。 越大，自项的分辨率越高， 越小， 对交叉项的抑制越大。因此， 的取值应在自项分辨率和交叉项 的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频 率变化得快，应取较大的 ，反之取较小 。 的取值推荐在 0.110之间。当 时， ，ED变成WVD，可以有 效地抑制交叉项，但不能保证性质 和

14、 。,ED对应的时域的核为 （4.5.8） 相应的时频分布是 （4.5.9）,例4.5.1 令 由三个时频“原子”组成， 和 具有相同的归一化频率（0.4），但具有不同的时间位置（分 别是32和96）。令 和 具有相同的时间位置，但归一 化频率为0.1。 的时域波形如图4.5.1a所示，其理想的时 频分布如图4.5.1b所示。其WVD如图4.5.1c所示。图c中存在 着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。图4.5.1d是 的模糊函数。图4.5.1e是指数核 的等高线图，,图4.5.1（a） 的时域波形 图4.5.1 （b） 理想时频分布,图4.5.1(c ) 的WVD,可以看到，图中存在着

15、由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项,AF的自项位于中心，在 轴和 轴上各有两个互项，在 第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有6个互项。,图4.5.1（d） 的模糊函数,图4.5.1(e) 指数核 的等高线图,它在原点最大，在 轴和 轴上恒为1。改变 ，可 调节坐标轴两边两个等高线的距离。 越大，距离越 大，反之距离越小。,在第二和第四两个象限的互项已被去除，在 轴和 轴上的 四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。,图4.5.1(f),图4.5.1g 是用ED求出的 的时频分布,交叉项较之图4.5.1b的WVD，已大大减轻,4.6 减少交叉项干扰的核的设计,如果 可以写成

16、变量 ， 的积的函数， 即 那么该核函数称为“积核”，在表4.3.1中 ， ，sinc 及ED核都是积核。 如果 可以写成 各自函数的积， 即 那么 称为可分离的核。,定义,可分离核的计步骤： 步骤1 设计一个基本函数 ，使满足下述条件： （a） 有单位面积，即 ； （b） 为偶对称，即 ； （c） 是时限的，即当 时 。 （d） 以t=0为中心向边际平滑减少，以保证含有较少 的高频分量。 步骤2 取 的傅立叶变换，即 步骤3 用 代替 中的 ，得到积核函数 （4.6.1）,按以上原则设计出的核 ，所对应的分布称为减少 干扰分布，即RID。RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同 时也兼顾时频分

17、布的其它性质。 式（4.6.1）的核函数 ，条件（a）对应 和 ，条 件（b）保证了 ， 和 。现在考察条件（c）。现将 （4.6.1）两边相对作傅立叶变换，即 （4.6.2） 按傅立叶变换的变量加权性质，有 （4.6.3）,因此条件（c）意味着满足 和 。 条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是 平面的2D低通函数，因此条件（d）满足 。 不同 所对应的TF分布形式 若 ，那么 ，对应的分布是WVD。 满足条件（a）、（b）和（c），但不满足（d）， 因此WVD不具备性质 及相应的制约 。 若 ，则 ，此为复数核形式的Rihaczek分布， 满足条件（a）和（c），不满足条件（b）和

18、（d）。,若 ，则 ，对应ReRihaczek分布， 也只满足条件（a）（c），不满足（d），所以该分布也和WVD一样，满足 ，不满足 及相应的制约 若对 ， 则 ，对应BornJordn分布， 满足条件（a）（d），所以该分布满足性质 。 若 ，此 对应ChoiWillams分布， 满足条件（a），（b）和（d），所以相应的TF分布有性质 和,设计思路及所得核在四个域内的形状 BornJodan（BJ）分布对应的 ，对 该 满足上述（a）（d）的四个条件。由 对应 域 用 代替 ，得BJ分布的核，即 （4.6.4） 这是模糊域 的核函数。形状如图4.6.1（a）所示。,图4.6.1(a) BJ分布核函数在 域内的形状,对应 域 令 ，则 ，利用傅立叶变换的定标性质， 有 （4.6.5） 的形状如图4.6.1(c)所示。,图4.6.1(c) 的形状,在 域的表示形式 （4.6.6） 的形状如图4.6.1（d)所示。,图4.6.1（d） 的形状,在 域的表示形式 （4.6.7） 其形状如图4.6.1（b）所示。,图4.6.7 的形状,