二次函数最值专题.ppt

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1、二次函数最值专题,三亚市实验中学 王迎春,1（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (4，0) 和 B(1，0)两点，与轴交于C点 （1）求此抛物线的解析式； （2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE， 当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标; （3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线， 交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此 时P点的坐标,解：（1）由二次函数 与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点可得： 解得： 故所求二次函数的解析式为,SCEF=2 SBEF, ,BEFBAC,得,故E点的坐标为(,

2、0).,EF/AC,（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则点C的坐标为（0，2） 若设直线AC的解析式为 ， 则有 解得： 故直线的解析式为 若设P点的坐标为 ， 又点Q是过点P 所作y轴的平行线与直线AC的交点， 则点Q的坐标为（ 则有： = 即当 时，线段PQ取大值，此时点P的坐标为（2，3）。,2（2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的 对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点， 与x轴交于另一点B （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标； （

3、3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90 的点P的坐标,E,解：（1）抛物线经过点C（0，3）C3， yax2+bx-3，又抛物线经过点A（1，0）， 对称轴为x=1，所以 抛物线的函数关系式为yx22x-3 （2）点A（1,0），对称轴为x=1，点B（3，0） 设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得 直线BC的函数关系式为y=x3，当x=1时，y2， 点M的坐标为（1，2） （3）如图，过点P作PDOC，设P（1，y）， 则PE|y|，DC3y， 在RtPEB中，PB222+|y|24+y2， 在RtPCD中PC212+|3y|210+6y+y2, 在RtOBC中

4、，BC232+3218， PCB90，PB2=PC2+BC2， 4+y2=10+6y+y2+18，解得y=-4 P（1,-4）,3.（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别 为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线 段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积,解：（1）由题意，得 解得， b =1

5、 所以抛物线的解析式为 ，顶点D的坐标为（1， ）,2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M 因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B， 连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H， 使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH = 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3 所以直线BD的解析式为y = x + 3 由于BC = 2 ，CE = BC2 = ，RtCEGCOB， 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5） 同

6、理可求得直线EF的解析式为y = x + 联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（ ， ）,（3）设K（t， ），过K作x轴的垂线交EF于N 则 KN = yKyN = （ t + ）= 所以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t） = 2KN = t23t + 5 =（t + ）2 + 即当t = 时，EFK的面积最大， 最大面积为 ， 此时K（ ， ）,4（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m

7、， AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断 有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形， 直接写出相应的点Q的坐标.,解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，则有 解得 抛物线的解析式y= x2+x4 （2）过点M作MDx轴于点D.设M点 的坐标为（m，n）. 则AD=m+4，MD=n，n= m2m4 . S = SAMD+S梯形DMBOSABO = ( m+4) (n) (n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2( m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m

8、0). S最大值 = 4,A,M,3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是： （-4 ，4 ），（4 ，-4）， （-2+ ，2 ）， （-2 ，2 ）,1.(2008 四川 广安)如图，已知抛物线 经过点 （1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式 （2）设此抛物线与直线 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行 于轴的直线 与抛物线交于点M，与直线 交于点N， 交轴于点P，求线段MN的长（用含 的代数式表示） （3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在 的值，使 BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由,解：（1）由题意得 解得b2，c4 此抛物线

9、的解析式为：yx22x4 2（2）由题意得 解得 点的坐标为(4，4) 将xm代入 yx条件得ym点的坐标为（m , m） 同理点的坐标为（m , m22m4 ），点的坐标为(m , 0 ) PNm ,MP| m22m4 | MNPNMP,2.(2008年福建省福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线 为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2， 点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边 上的点F处 （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三 角形是等腰三角形，

10、求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？ 如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由,解：(1)E(3,1)；F(1,2)； (2)在RtEBF中,B=90，所以 EF= . 设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2), 所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5, 解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2, 解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2 如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,

11、所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 当EF=EP时,EP= 3,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2,解：(1)E(3,1)；F(1,2)； (2)在RtEBF中,B=90，所以 EF= . 设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2), 所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5, 解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2, 解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2 如图2,当EP=FP时,EP2=

12、FP2, 所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 当EF=EP时,EP= 3,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2,(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小 如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴 的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、 N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2), NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3, 所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/= =5. 又因为EF= ,所以FN+MN+ME+EF=5+ , 此时四边形MNFE的周长最小值为

13、5+ .,3. （山东德州市2010）已知二次函数的图象经过 点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3) (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段 BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿 线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时， 另一个也随之停止运动设运动时间为t秒 当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； 设PQ与对称轴的交点为M，过M点作 x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式， 并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值,解：(1)二次函数 的图象经过点C(0，-3)

14、， c =-3 将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得 解得：a=1，b=-2 配方得： ，所以对称轴为x=1,(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t 点B，点C的纵坐标相等， BCOA 过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB 即QE=AD=1 又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t， 2-0.2t=1 解得t=5 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形,设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G 对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， BF=CF=OG=1 又BP=OQ，PF=QG 又PMF=QMG， MFPMGQ

15、MF=MG 点M为FG的中点 S= = 由 = S= 又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒 0t20 当t=20秒时，面积S有最小值3,4. （2011年河南）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8. （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴 的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E. 设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式， 并求出l的最大值； 连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动， 正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时， 直接写出对应的点P的坐标.,解：（1）对于 ， 当y=0，x=2.当x=-8时，y=- . A点坐标为（2，0），B点坐标为 由抛物线经过A、B两点，得,