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1、Ch1、行列式,n阶行列式的定义,行列式的性质,行列式按行（列）展开,克莱姆法则,1、n阶行列式的定义,1、全排列与逆序数 将 这n个数任意组合后排成的数组 称为一个n阶(全)排列，例如53214即为一个五阶全排列。显然，n阶排列的总数为n!。 在排列中任取两个数，如前面的数大于后面的数，则称它们构成一个逆序。,(1) 一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数，记为t； (2) 逆序数为奇(偶) 数的排列称为奇 (偶)排列。 参考题1、求下列排列的逆序数 (1) 312; (2) 134782695; (3) ; (4) 解：(1) t=2; (2) t=1+1+3+3+1+1=10;,(3
2、) ; (4) t=0。 2、对换 将一个排列中的两个数位置对调称为对换。 定理1：对换改变排列的奇偶性。 定理2：在所有n阶排列中，奇偶排列各半，各为个 。,证: 设奇偶排列分别为p,q个, 则p+q=n!。 全部排列 全部排列 ，故p=q=n!/2 。 3、二阶与三阶行列式 引例：解二元线性方程组,解：用消元法易得 称为二阶行列式。 若记 则方程组的解可记为,称为三阶行列式。,例1.1 解线性方程组： 解： 由于系数行列式 ，根据对角线法则 所以,例1.2 计算三阶行列式 。 解：由对角线法则 D=1(1)(2)+010+2110(1)111120(2)=3。 例1.3 求排列54312的
3、逆序数，并指出该排列的逆序数。 解：首位数5，其逆序数为0； 4的前面且比4大的数有一个，其逆序数为1； 3的前面有两个数5和4，且都比3大，其逆序数为2；,1的前面有三个数，5，4和3，且都比1大，其逆序数为3； 2的前面有四个数，5，4，3和1，比2大的数有3个，其逆序数为3，于是这个排列54312的逆序数为 t = 0+1+2+3+3=9， 为奇排列。,4、n阶行列式的定义 称为n阶行列式。 (1) n!项之和，正负各半；(2) 每项为不同行不同列的n个元素之积 ，其符号为 ，t为排列 的逆序数。 故n阶行列式的定义为,例1.4 证明n阶行列式 其中未写出的数都是零。这类行列式叫做下三角
4、行列式，其特征是主对角线以上的数全取零，它的值等于主对角线上所有数的积。 证明：根据n阶行列式定义,由于在上三角行列式中，对任意ji恒有aij=0，故D的计算式中各项的乘积因子 ，只有当其下标满足Pii时，该因子才有可能不为零。由Pii(i=1，2，n)可得 P11，P22，Pnn。 在所有排列P1P2Pn中，能满足上述关系的排列只有一个标准次序排列123n，此时D中可能不为零的项只有一项 ，该项的符号(1)t=(1)0=1，因此 D=a11a22ann,5、几种常用的特殊行列式 (1)上三角行列式 解：观察通项 知，要想使之不为零，必须 ，同理 ，而 为偶排列，故 。,(2)下三角行列式 (
5、3)对角行列式,(4)反对角行列式 解：对 ，必须 ，而 ，故得证。,2、行列式的性质,性质1：行列式与它的转置行列式相等，即 。 性质2：交换两行(列)，行列式仅改变符号。 推论：若两行(列)相同，则行列式为零。 证： ，故D=0。 性质3：用数k乘某行(列)等于用k乘该行列式。,例如， 切记：,性质4：若两行(列)成比例，则行列式为零。 证： 性质5：把某一行(列)各元素乘上同一数后加到另一行(列)对应元素，行列式不变。 性质6：,性质7: 若A,B均为n阶方阵，则 注：计算行列式最常用的两种方法之一是利用行列式的性质将其化为上三角。,参考题2、计算 (1) (2) 解：(1),(2),例
6、1.5 计算三阶行列式 解： =6113=18。,例1.6 计算n阶行列式 解：第2列所有元素都是2，其余各列均只有一个元素不是2。考虑将第1，3，4，n各列都加上第2列元素的(2)倍，由性质4得,= 121(n2)= 2(n2)!。,例1.7 计算n阶行列式 解：首先注意到，该行列式每行元素之和都是 ，因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式 ，得,上式右端行列式每一行与第一行都只有一个元素不同，将行列式的(1)倍加于其余各行，得,例1.8 计算行列式 解：注意到行列式每行元素之和都是 因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式 ，得,上式右端行列式每一行与第一行都只有一个
7、元素不同，将第一行的(1)倍加于其余各行，得,3、行列式按行（列）展开,1、余子式和代数余子式 在n阶行列式中，将 所在的第i行、第j列划去后余下的n1阶行列式称为 的余子式，记为 ，而 称为 的代数余子式。 在 中， 的余子式,代数余子式 。 2、行列式的展开法则 定理3：行列式等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 推论:行列式中某一行(列)的各元素与另一行 (列)对应元素代数余子式的乘积之和为,零，即 。 综合定理和推论可得： 例如，,注：计算行列式最常用的两种方法之二是利用展开法则将行列式展开。 参考题3、计算行列式 解：,参考题4、证明范德蒙行列式,例1.9
8、设有四阶行列式 ，求 D的第4行元素各余子式之和的值。 解法一：计算4个余子式(均为三阶行列式) M41，M42，M43，M44。 M41+M42+M43+M44,解法二：将D的前3行元素保持不变，第4行元素换成1，1，1，1，得到行列式D1： 将D1按第3行展开，由于其第3行只有一个非零元素7，则,由于D1与D的前3行元素对应相同，故D第4行元素的余子式M41，M42，M43，M44与D1第4行元素的余子式相同。将D1按第4行展开，得 故 M41+M42+M43+M44=D1= 28。,例1.10 计算行列式 解：,例1.11 计算n阶行列式 解：将D按第1列展开，得D=aA11+bAn1，
9、其中,将等式右端行列式第k列各元素的(1)倍加到第k+1列的对应元素上去(k依次取n1，n2，2，1)，得到,故,4、克莱姆法则,1、伴随矩阵 定义：对方阵A，由其行列式 各元素的代数余子式构成的方阵 称为的伴随矩阵，记为 。,例如， ， 。 定理4：对任意方阵A， 证：,，同理 ，即 。 定义：对方阵A，当 时，称之为奇异阵， 时，称之为非奇异阵。 定理5：A非奇异(即 ) 可逆，且 。 证：(必要性)由定理4， 因A非奇异即 ，故,由定义知，A可逆，且 。 (充分性)因A可逆，即有 ，使 故 ，得 ，即A非奇异。 推论：若 或 ，则A,B互逆。 证： ， ，得 ， ，即A,B均可逆，且互为
10、逆矩阵。 参考题5、 ，求 ，其中 。,解： ，即A可逆，又 故 参考题6、求 的逆阵。,解： ，即A可逆， 故 2、克莱姆法则 定理6：若n元非齐次线性方程组,的系数行列式 则此方程组有唯一解 其中Di是将D中的第i列元素用右端项代替后所得的行列式，即,注：若D=0，则此方程组无解或有无穷多组解。 推论：对齐次线性方程组 其有非零解的充要条件是系数行列式D=0。,例1.12 解线性方程组 解：因为 所以方程组有唯一解。而,从而,例1.13 试讨论，当为何值时，方程组 有唯一解？有非零解？ 解：方程组的系数行列式为,由克莱姆法则知，当 ，即2，且1时方程组有唯一解。 由定理1.4，方程组有非零
11、解时，其系数行列式，即 ，故= 2，或=1。,例1.14 已知五阶行列式 ， 求A41+A42+A43和A44+A45的值，其中A4j是元素a4j的代数余子式。 解：注意到行列式D的第2行与第4行具有前3个元素、后2个元素也相同的特征，再由n阶行列式的展开特征：,可得 由此方程组解得,例1.15 用递推归纳法计算n阶行列式 解： 这个行列式的特点是除对角线上元素都是外，其余元素都是。第i行与第i+1行只有两个位置的元素不同，因此，依次将行列式第i行的(1)倍加于第i+1(i=n1,n2,2,1)，得,该行列式第n列只有两个元素非零，按第n列展开，得,这样，我们便得到Dn的递推公式：,于是,例1
12、.16 计算n阶范德蒙(Vandermende)行列式 解：依次将行列式第i行的(xn)倍加于第i+1(i=n1,n2,2,1)，得,按最后一列展开，得,例1.17 计算n阶三对角行列式 解：将行列式按第1行展开，得,做一元二次方程 ，并设a，b为其两个根(即 )，则 由 ，得 整理得递推关系式：,于是,如果 ，即 ，解方程组 得,如果 ，即 (此时 )，则有 ，从而 例1.18 计算n阶三对角行列式,例1.18 计算n阶三对角行列式 解：利用上例，易知,例1.19 计算n阶行列式 解：考虑n+1阶行列式,它是关于n+1个变元 的范德蒙行列式，利用例1.16，有,若将Vn+1按最后一列展开，则 要计算的行列式其实是Vn+1中元素xn1的余子式Mn n+1，即Dn=Mn n+1，而 就是 中xn1的系数，所以,