电路分析基础第7章 电路的频率特性.ppt

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1、第7章 电路的频率特性,7.1 网络函数与频率特性 7.2 RC电路的频率特性 7.3 RLC串联谐振电路 7.4 RLC并联谐振电路 7.5 非正弦周期信号激励下电路的稳态响应 习题7,7.1 网络函数与频率特性 1. 网络函数 在前面正弦稳态电路分析中曾讲过，对于线性电路，若激励f(t)是频率为的正弦信号，则响应y(t)亦为同频率的正弦信号。根据线性电路的齐次性，响应相量与激励相量成正比。在只有一个激励的正弦电路中,(7.1-1),根据响应相量和激励相量是电压还是电流，策动点函数又分为策动点阻抗和策动点导纳，其定义分别为式(7.1-2)和式(7.1-3)，对应电路如图7.1-1(a)、(b

2、)所示。其中，N0为无独立源电路。,图7.1-1 策动点函数说明用图,策动点阻抗 策动点导纳 同样，转移函数也可分为四种： 转移电压比、转移电流比、转移阻抗和转移导纳。其定义分别为式(7.1-4)式(7.1-7)，对应电路如图7.1-2(a)(d)所示。 转移电压比,(7.1-2),(7.1-3),(7.1-4),转移电流比 转移阻抗 转移导纳,(7.1-5),(7.1-6),(7.1-7),图7.1-2 转移函数说明用图,2. 频率特性 由网络函数的定义式(7.1-1)可知，H(j)是频率的函数，它反映了响应随频率变化的规律，故网络函数又称为电路的频率响应函数或频率特性。一般情况下， H(j

3、)是一个复数，故可将它写为复数的指数表示形式：,(7.1-8),根据电路的幅频特性，可将电路分为低通、高通、带通和带阻滤波电路。各种理想滤波器的幅频特性如图 7.1-3(a)(d)所示。,图7.1-3 理想滤波器的幅频特性,7.2 RC电路的频率特性 1. RC低通电路 图7.2-1所示为一阶RC低通滤波电路的相量模型。图中， 为激励相量， 为响应相量。由网络函数的定义式(7.1-1)，得,(7.2-1),图7.2-1 一阶RC低通电路,幅频特性 表示输出电压与输入电压的比值随频率变化的规律。 相频特性 ()=arctan(RC) (7.2-3) 表示输出电压和输入电压的相位差随频率变化的规律

4、。据此可作出电路的幅频特性曲线和相频特性曲线分别如图7.2-2(a)、(b)所示。,(7.2-2),图7.2-2 RC低通电路的频率特性,由式(7.2-2)得 所以，有 RC=1 则截止频率,(7.2-4),以上讨论的是RC低通电路输出端开路(无负载)的情况。下面分析输出端接上负载电阻后对电路的频率特性的影响。电路如图7.2-3所示。,图7.2-3 输出端接负载电阻的RC低通电路,2. RC高通电路 图7.2-4所示为一阶RC高通滤波电路的相量模型，它与RC低通电路的不同之处是输出电压 取自电阻R两端。由网络函数的定义式(7.1-1)，得 幅频特性,(7.2-5),(7.2-6),图7.2-4

5、 一阶RC高通滤波电路,相频特性 由式(7.2-6)和式(7.2-7)可作出幅频特性曲线和相频特性曲线如图7.2-5(a)、(b)所示。,(7.2-7),图7.2-5 RC高通电路的频率特性,按截止频率的定义，由式(7.2-6)得 解得截止频率,(7.2-8),3. RC选频电路 图7.2-6所示为RC振荡器中选频电路的相量模型。,图7.2-6 RC串并联选频电路,图中， 为输入相量， 为输出相量，设串联部分的阻抗为Z1，并联部分的阻抗为Z2，则网络函数为 其中,将Z1、Z2代入H(j)中，得 幅频特性,(7.2-9),(7.2-10),相频特性 由式(7.2-10)和式(7.2-11)可画出

6、幅频特性曲线和相频特性曲线如图7.2-7所示。,(7.2-11),图7.2-7 RC串并联选频电路的频率特性,7.3 RLC串联谐振电路 含有电感和电容的无源二端电路可能呈感性，也可能呈容性。在一定条件下，它们可能呈现电阻性，即端口电压与端口电流同相，这种现象叫做谐振。 常见的结构简单的谐振电路有串联谐振电路和并联谐振电路。本节介绍串联谐振电路。 1. RLC串联电路的谐振条件 由实际电感线圈和电容器串联组成的电路，叫做串联谐振电路，如图7.3-1(a)所示。,图7.3-1 RLC串联谐振电路,由图7.3-1(b)可知，串联电路的总阻抗 回路电流 式(7.3-1)中，感抗、容抗以及电路的总电抗

7、是频率的函数，它们随变化的规律(即电抗频率特性)如图7.3-2所示。,(7.3-1),(7.3-2),图7.3-2 RLC串联电路的电抗频率特性,由式(7.3-1)可知，串联电路发生谐振时，有 即,(7.3-3),由此求得,(7.3-4),2. RLC串联电路的谐振特点 (1) 由式(7.3-1)可得谐振时电路阻抗为 (2) 由式(7.3-2)可得谐振时的回路电流为,(7.3-5),(7.3-6),(3) 由式(7.3-3)可知，谐振时感抗与容抗的数值相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即 电路特性阻抗与电阻R之比定义为谐振电路的品质因数，用Q表示，即 (4) 为了讲述方便，将图7.3-

8、1(b)所示的RLC串联谐振电路的相量模型重画为图7.3-3(a)。,(7.3-8),(7.3-7),图7.3-3 RLC串联电路谐振时的相量模型和相量图,由图7.3-3(a)可得，谐振时各元件的电压为 相量图如图7.3-3(b)所示。由此可见，电路谐振时，电感电压与电容电压大小相等，相位相反，其值等于电源电压的Q倍，即 UL0=UC0=QUs (7.3-10),(7.3-9),设电源电压us=Usm cos0t，对应的振幅相量 ，则由式(7.3-6)可得谐振时的回路电流 写为瞬时值表达式，有 电感储存的磁场能量为,(7.3-11),电容储存的电场能量为 谐振时电路的电、磁场能量总和为 由式(

9、7.3-10)，有,(7.3-12),(7.3-13),移项整理，得 将上式代入式(7.3-13)，可得 由式(7.3-8)可得电路的品质因数,(7.3-14),(7.3-15),电路品质因数 一般电容器的损耗很小 ，可忽略不计，故式(7.3-16)可近似认为 QQL (7.3-17),(7.3-16),【例7.3-1】 在图7.3-4所示的串联谐振电路中，L=100 H，C=100 pF，R=10 ，电源电压Us=10 mV。求电路的谐振角频率0、电路的品质因数Q、谐振时的回路电流I0和电感电压UL0与电容电压UC0。,图7.3-4 例7.3-1用图,【例7.3-2】 图7.3-5所示的串联

10、谐振电路由L=2 mH、QL=200的电感线圈和C=320 pF 的电容器组成，接到Us=10 mV的信号源上。信号源内阻为Rs，信号源频率等于电路的谐振频率。,图7.3-5 例7.3-2用图,【例7.3-3】 串联谐振电路在无线电技术中的典型应用是作为接收机的输入电路。图7.3-6(a)所示为收音机的天线输入电路。图中，L1是天线线圈，用于接收各电台发出的不同频率的信号；电感线圈L和可变电容器组成串联谐振电路。在各台发出的不同频率的信号被线圈L1接收后，经电磁感应(耦合)作用，这些信号在线圈L上感应出相应的电动势e1、e2、e3等。通过改变C，使LC串联电路对所需频率的信号发生谐振，这时LC

11、回路中该频率的电流最大，在可变电容器两端可获得Q倍的接收信号电压，于是就选听到了该电台的广播节目。已知线圈L的电感L=0.4 mH, 电阻RL=10 。现欲收听频率为640 kHz的电台广播。,(1) 试问可变电容C应调至何值。 (2) 若接收信号在LC回路中感应出的电压Us=5 V，电容器两端获得的电压为多大？,图7.3-6 例7.3-3用图,3. RLC串联谐振电路的频率特性 图7.3-1(b)所示的RLC串联谐振电路中， 为激励相量，电流 为响应相量，则由式(7.1-1)可得网络函数为,代入上式有 于是H(j)可写为,(7.3-18),幅频特性 相频特性,(7.3-19),(7.3-20

12、),由式(7.3-19)和式(7.3-20)可画出归一化的幅频特性曲线和相频特性曲线，又称为谐振曲线，如图7.3-7所示。,图7.3-7 谐振曲线,4. RLC串联谐振电路的通频带 一般规定： 幅频特性值 所对应的频带为电路的通频带，如图7.3-8所示。由图7.3-8可看出，在幅频特性曲线上， 对应两个频率点c1和c2，分别称为上、下截止频率。介于这两个截止频率之间，也就是 所对应的一段频率范围，即为谐振电路的通频带, 记为 BW=c2c1 (7.3-21),图7.3-8 串联谐振电路的通频带,电路的通频带宽度 或,(7.3-23),(7.3-22),【例7.3-4】 有一LC组成的串联谐振电

13、路，电容C= 199 pF，电路谐振频率f0=800 kHz，通频带的边界频率fc1= 796 kHz，fc2=804 kHz，试求电路的品质因数Q、电感线圈的电感L和电阻R。 解 由式(7.3-23)可得通频带宽度 BW=fc2fc1=804796=8 kHz 由式(7.3-23)可得电路的品质因数 再求电感线圈的电感L和电阻R。由式(7.3-4)知,得 由式(7.3-8) 得,【例7.3-5】 在图7.3-9所示的RLC串联谐振电路中，已知电源电压 ，当电容C=2500 pF时，电路消耗的功率达到最大值50 W，试求L、R和Q。,图7.3-9 例7.3-5用图,7.4 RLC并联谐振电路

14、并联谐振电路由一个电感线圈和一个电容器并联，然后接高内阻信号源构成，如图7.4-1(a)所示。图中，电阻R代表实际线圈本身的损耗电阻；电容器的损耗很小，可忽略不计；信号源的内阻很高，可近似为理想电流源。图7.4-1(a)对应的相量模型如图(b)所示。,图7.4-1 RLC并联谐振电路,1. 并联谐振条件 由图7.4-1(b)可知，并联谐振电路的总导纳 式中 为并联谐振电路的等效电导；,(7.4-2),(7.4-1),为并联谐振电路的等效电纳。 根据谐振的概念，当电路的响应电压 与电源电流 同相时，电路发生并联谐振。这时电路的电纳B=0，电路的总导纳Y=G，电路呈纯电阻性。可见，并联谐振的条件是

15、电路的电纳B为零。设并联谐振时电源频率为0，即有,(7.4-4),(7.4-3),由式(7.4-4)解得 式(7.4-5)为计算并联谐振角频率的精确公式。实际应用的并联谐振电路中，线圈的损耗R是很小的，一般都满足 ，因此式(7.4-4)可近似写为,(7.4-6),(7.4-5),从而求得 由式(7.4-6)可知，在小损耗条件下，并联谐振时感抗与容抗的数值相等，其值称为并联谐振电路的特性阻抗，也用表示，即,(7.4-7),(7.4-8),并联谐振电路的品质因数Q的定义同串联谐振电路，也是电路的特性阻抗与电阻R之比，即 式(7.4-9)与串联谐振电路的品质因数的定义式(7.3-8)一样。 2. 并

16、联谐振电路的谐振特点 为了讲述方便，我们将图7.4-1(a)所示的实际RLC并联谐振电路重画为图7.4-2(a)。,(7.4-9),图7.4-2 RLC并联谐振电路的等效电路,由于工程上对谐振电路的分析，其频率范围均在谐振频率附近，即L0L，因此在小损耗情况下，由式(7.4-1)，有,(7.4-10),由R0=Q2R可导出并联谐振电路的品质因数Q的另一计算公式，即 参看图7.4-2(b)，很容易得出并联谐振电路谐振时的特点如下： (1) 由式(7.4-10)可得谐振时电路导纳,(7.4-12),(7.4-11),其值最小，且为纯电导。相应地，并联谐振阻抗 其值最大，且为纯电阻。 谐振时，LC并

17、联电路的端电压,(7.4-14),(7.4-13),(2) 谐振时各元件上的电流为 其相量图如图7.4-2(c)所示。由此可见，电路谐振时，电感电流与电容电流的大小相等，相位相反。这犹如一个电流在LC并联回路中闭合流动，所以此电流又称做环流，其值等于电源电流的Q倍，即 IL0=IC0=QIs (7.4-16),(7.4-15),3. 并联谐振电路的频率特性 并联谐振电路的频率特性可按串联谐振电路的频率特性的推导方法进行。图7.4-2(b)所示的电路中， 为激励相量，并联电路端电压 为响应相量，则由式(7.1-1)得网络函数为,代入上式有 于是H(j)可写为,(7.4-17),还需指出的是，如果

18、信号源内阻不够高，则不能作为理想电流源看待，这时需考虑信号源内阻的影响。图7.4-3所示的电路中，Rs是信号源内阻，RL是负载电阻，虚线框部分是实际电感线圈和电容器并联的等效电路模型。,图7.4-3 考虑Rs、RL影响的并联谐振电路,由图7.4-3可得，并联等效电阻 则由式(7.4-11)可得上述两种情况下电路的品质因数为,(7.4-18),(7.4-19),将以上两式相比，有 移项整理，得,(7.4-20),4. 串联谐振电路与并联谐振电路的比较 通过7.3节和本节前面的讨论可以看出，图7.3-1(b)所示的RLC串联谐振电路与图7.4-2(b)所示的RLC并联谐振电路是对偶电路，因此它们的

19、分析结果也具有对偶性。表7.4-1给出了串、并联谐振电路的性能参数及计算公式。,表7.4-1 串、并联谐振电路的性能参数及计算公式对照表,【例7.4-1】 并联振谐电路如图7.4-4所示。已知L=100 H，C=400 pF，电路的品质因数Q=125，信号源电流的有效值Is=1 mA，试求电路的谐振角频率0、谐振时电路阻抗Z0、电容电压UC0以及电路通频带BW。,图7.4-4 例7.4-1用图,【例7.4-2】 图7.4-5为某晶体管高频放大器的等效电路，虚线框部分为实际电感线圈和电容组成的并联电路，Q=100，L=0.1 mH，C=400 pF，又已知放大器的输出电流(集电极电流)含有两个频

20、率分量 ， ，试求这两个电流分量在LC并联电路两端产生的响应电压大小。,图7.4-5 例7.4-2用图,【例7.4-3】 滤波电路如图7.4-6所示，已知电源角频率=103 rad/s，电感L=25 mH，它阻止电源信号的二次谐波(角频率为2)通过，而使基波(角频率为)顺利通至负载RL，求电容C1和C2。,图7.4-6 例7.4-3用图,7.5 非正弦周期信号激励下电路的稳态响应 在电工、无线电工程和其他电子工程中，除了前面已讨论过的直流激励和正弦激励外，还常遇到非正弦周期电压或电流激励。图7.5-1所示为几种非正弦周期信号的波形。,图7.5-1 几种非正弦周期信号的波形,7.5.1 周期信号

21、分解为傅里叶级数 由高等数学的相关知识可知，以T为周期的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫利条件： (1) 在一个周期内满足绝对可积，即 (2) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值； (3) 在一个周期内只有有限个不连续点，则f(t)可展开为如下三角型傅里叶级数：,(7.5-1),系数a0、ak、bk称为三角型傅里叶系数，分别由式(7.5-2)确定,(7.5-2),若将式(7.5-1)中的同频率项合并，即 ak cos1t+bk sink1t=Ak cos(k1t+k) 则可以把f(t)的三角型傅里叶级数写成以下形式: 式中,(7.5-4),(7.5-3),7.5.2 非正弦周期信号激励下电

22、路的稳态响应的计算 从傅里叶级数的观点来看，非正弦周期信号可分解为直流分量和一系列不同频率的谐波分量之和。因此，可运用叠加定理，分别求出包括直流在内的各个分量单独作用时产生的稳态响应，然后将这些响应叠加，其结果即为非正弦周期信号激励下电路的稳态响应，这种方法称为谐波分析法。具体计算步骤如下： (1) 利用傅里叶级数，将非正弦周期电压或电流激励分解为直流分量和各次谐波分量之和的形式。视所要求的精度截取有限项。,(2) 根据叠加定理，分别求出各分量单独作用时的响应。直流分量(=0)单独作用时，电路是直流稳态电路，电感看做短路，电容看做开路。各次谐波分量单独作用时，因每一谐波分量都是单一频率的正弦波

23、，故可用正弦稳态电路的相 量分析法求解其稳态响应。但应注意，对不同频率的谐波分 量来说，电感元件和电容元件的感抗和容抗是不同的，它们随频率而改变。 (3) 将步骤(2)中计算出的各响应叠加，就得到了电路在非正弦周期信号激励下的稳态响应。注意： 这里是各响应的瞬时值叠加，而不是相量叠加。 【例7.5-1】 电路如图7.5-2(a)所示，已知输入激励 us(t)=10+4 cost+2 cos(2t+30) V，求电路的稳态响应i(t)。,图7.5-2 例7.5-1用图,【例7.5-2】 电路如图7.5-3(a)所示，已知电源电压 us(t)=5+20 cos10t+15 cos30t V，求电流

24、响应i(t)。,图7.5-3 例7.5-2用图,7.5.3 非正弦周期信号的有效值及电路的平均功率 1. 非正弦周期信号的有效值 5.1.3节已经给出了周期电流或电压的有效值(又称方均根值)的定义式，现重写如下： 这一定义适用于任何周期性变化的电流或电压(即周期信号)。下面我们讨论周期信号用傅里叶级数表示时，其有效值的计算公式。,非正弦周期电流的有效值为 同理，得非正弦周期电压的有效值为 式(7.5-5)和式(7.5-6)表明： 非正弦周期信号的有效值等于它的直流分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。,(7.5-5),(7.5-6),【例7.5-3】 非正弦周期电压、电流的傅里叶级数展

25、开式为 u(t)=10+4 cost+2 cos(2t+14.4) V i(t)=6+2 cost+5 sint+3 cos2t A 求电压和电流的有效值。,2. 非正弦周期电路的平均功率 非正弦周期电路中任意二端网络N如图7.5-4所示。,图7.5-4 非正弦周期中的无源二端网络,【例7.5-4】 二端网络如图7.5-4所示，已知端口电压、电流分别为 u(t)=100+100 cost+50 cos2t+30 cos3t V i(t)=10 cos(t60)+2 cos(3t135) A 求该二端网络吸收的平均功率。,【例7.5-5】 电路如图7.5-5(a)所示，已知 ， ，电阻R=2 ，

26、求R吸收的功率。,图7.5-5 例7.5-5用图,习 题 7 7-1 试求题7-1图所示电路的转移电压比 并定性画出其幅频特性曲线和相频特性曲线，指出它们是低通网络还是高通网络，截止频率c是多少？,题7-1图,7-2 求题7-2图所示电路的网络函数 ，并画出|H(j)|的大致变化规律。,题7-2图,7-3 多级放大器常用题7-3图所示的电路来进行级间耦合，图中C称为耦合电容。若C=10 F，R=1.5 k，则该电路的通频带是多少？ 若增大电容C，对通频带有何影响？,题7-3图,7-4 在RLC串联谐振电路中，已知R=10 ，L=160 H，C=250 pF，外加正弦电压源的有效值Us=1 V，

27、求电路的谐振频率f0、品质因数Q、谐振时的回路电流I0、电抗元件上的电压UC0和UL0。 7-5 RLC串联电路如题7-5图所示，已知电源电压 Us=1 mV，f=1.59 MHz，调整电容C使电路达到谐振，此时测得回路电流I0=0.1 mA，电容电压UC0=50 mV。求电路元件参数R、L、C以及电路品质因数Q和通频带BW。,题7-5图,7-6 题7-6图是应用串联谐振原理测量线圈电阻rL和电感L的电路。已知R=10 ，C=0.1 F，保持外加电压有效值U=1 V不变，改变频率f。当f=800 Hz时，测得电阻R上的电压最大值UR=0.8 V，试求rL和L。,题7-6图,7-7 在电压 作用

28、下的RLC串联电路的谐振曲线如题7-7图所示，求电路中的电阻R、电感L、电容C和品质因数Q。,题7-7图,7-8 题7-8图所示为RLC串联谐振电路。当电源电压us(t)=10 cos(105t+30) V时，电路消耗的功率P=0.5 W；当电源电压us(t)=10 cos(2105t+30) V时，电路处于谐振状态，电路消耗的功率 P=1 W。试求该谐振电路中的R、L、C。,题7-8图,7-9 若给定C=50 pF，试设计一个谐振频率f0=1 MHz，通频带宽BW=0.02 MHz 的串联谐振电路。 7-10 已知RLC并联电路的谐振频率为103 rad/s，谐振时电路的阻抗为100 k，通

29、频带宽为100 rad/s，求电路元件R、L和C的值。 7-11 在题7-11图所示的并联谐振电路中，已知R=40 ，L=10 mH，C=400 pF。 (1) 试求谐振频率f0、谐振阻抗Z0、特性阻抗及品质因数Q。 (2) 若输入电流的有效值Is=10 A，求谐振时的电压U。,题7-11图,7-12 并联谐振电路如题7-12图所示。已知L=500 H，空载回路品质因数Q=100，电源电压 ，电源内阻Rs=50 k，电源角频率=106 rad/s，电路已对电源频率谐振。 (1) 试求电路的通频带BW和回路两端电压 。 (2) 若在回路上并联的负载电阻RL=30 k，这时电路的品质因数、通频带和

30、端电压又为多少？,题7-12图,7-13 在题7-13图所示的电路中有两种不同频率的电源同时作用，其中 为使负载Z上只含频率为2的电压，而不含频率为1的电压，且u=us2，在电路中接入由L1、C2、L3组成的滤波电路(图中虚线框所示)。已知1=314 rad/s，2=31=3314 rad/s，L1=0.2 H，试选择C2和L3的值。,题7-13图,7-14 题7-14图所示的并联谐振电路中，已知电路的谐振频率为f0=80 MHz，电容C=10 pF，线圈的品质因数Q=100。 (1) 试求线圈的电感L、电路的谐振阻抗Z0、通频带宽度BW和电容上的电压。 (2) 为使电路的通频带展宽为3.5

31、MHz，需在谐振回路两端并联一个多大的电阻R？ 此时电容上的电压又是多少？,题7-14图,7-15 在题7-15图所示的正弦交流电路中，R=5 ，L=2 H，C=5 mF。调节电源频率，使电压u达到最大值，此时Is=1 A。求is、u、iR、iL、iC和电路的品质因数Q，并画出相量图。,题7-15图,7-16 在题7-16图所示的电路中，虚线框部分是实际电感线圈和电容器并联的等效电路模型，其电路的品质因数为Q(空载品质因数)。试证明当考虑电源内电导Gs和负载电导GL后，电路的负载品质因数为,题7-16图,7-17 晶体管选频放大器的交流等效电路如题7-17图所示。已知谐振回路的谐振频率f0=5

32、30 kHz，电容C=600 pF，放大器的输出阻抗为25 k，要求谐振电路与放大器匹配，求线圈参数R、L及回路的品质因数Q。,题7-17图,7-18 收音机中频放大器的等效电路如题7-18图所示。已知电源电流Is=60 A，内阻Rs=32 k，谐振回路自身的品质因数Q=117，电容C=200 pF，磁芯线圈的匝比N24/N14= 0.4，N34/N14=0.04，负载电阻RL=320 ，回路调谐于465 kHz。试求： (1) 负载RL吸收的功率； (2) 电路的有载品质因数Q和通频带BW。,题7-18图,7-19 电路如题7-19所示，已知电流源电流 ，求电流iR和iC。,题7-19图,7

33、-20 题7-20图所示的电路中，已知非正弦周期电压源 ，求电路的稳态响应uR(t)。,题7-20图,7-21 电路如题7-21图所示，已知电源电压us(t)=10+20 cos5t+30 cos10t V，求电压u(t)。,题7-21图,7-22 题7-22 图所示的无源二端网络中，已知端口电压、电流分别为 u(t)=3+5 cost+cos(2t15)+8 cos(3t+60) V i(t)=12 sin(2t60)+4 cos3t A 试求电压、电流的有效值及二端网络的平均功率。,题7-22图,7-23 设通过2 电阻的电流为i(t)=4+10 cos(t+45)+5 cos(3t+30)+2 sin5t A，试计算电流的有效值及电阻消耗的功率。 7-24 电路如题7-24图所示，已知us(t)=10 V， ，求电路的稳态响应iR、电流有效值IR及电阻吸收的平均功率。,题7-24图,