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1、微积分初步试题分类整理 一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）电大考试电大小抄电大复习资料 函数的的基本知识（一般是填空题的第 1 题） 1 函数 的定义域是 xxf)2ln(1) 4,1(),2( 2 函数 的定义域是 242, 3 函数 的定义域是 )1ln()xxf,0(),1 4 函数 的定义域是 2,2( 5 函数 的定义域是 )ln()xf ),3), 6 函数 的定义域是 （-2，2）241f 7 函数 的定义域是xxf5)ln() )5,0(,1 8 函数 ，则 742f )(f 9 函数 ，则 )1(x62 10 函数 ，则52xf f1 11 设 ,则1)( 12
2、若函数 ，则 =2()f fx2y 13 若函数 ,()6xx则 14 函数 的单调增加区间是 23y, 极限与连续（一般是填空题的第 2 题） 1 若 ，则 24sinlm0kxk 2 若 ，则 3si6lx 3 2xnl0 4 1xsilm 5 0x2nli 6 若函数 ,在 处连续，则 2 0,2)(xkf k 7 若函数 ,在 处连续，则 1,1 3sin)(xf x 8 设函数 在 x = 0 处连续，则 k = -1 ,1,2sin)(kxf 9 若函数 si,()0fx1在 处 连 续 ， 则 10 函数 的间断点是 132xy1 导数的几何意义（一般是填空题的第 3 题） 1
3、曲线 在点 处的切线方程是 xe),0(xy 2 曲线 在点 处的切线方程是 y121 3 曲线在 在点（1，1）处的切线方程是 2x 3yx 4 曲线在任意一点处的切线斜率为 ，且曲线过点（1，1），则曲线方程为x 312xy 5 曲线 在 点的切线斜率是 1)(xf),0(2 6 曲线 在点（1，2）处的切线斜率是f 1 7 曲线 在点 处的切线斜率是 xy),(2 8 曲线 在 处的切线斜率是 1e)(f0 导数与积分（一般是填空题的第 4 题） 1.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = -6y 2.已知 ，则 = f2)(f2)ln 3.已知 ，则 = x3(
4、3l1(7 4.若 ，则 = cfsind)xfcos 5. 0 e12l(xx 6. dcln 7.若 是 的一个原函数，则 x1)(f )(xf 8. de 2x2 9. s)in(csi 10.若 ，则 Ff)(xfd)32(cF)32(1 11. 4xxd)235( 1 12 = 2deC 13若 =-cosx+cxsin 14由定积分的几何意义知， adx0224a 15.若 ，则 -4cos2xcxxf2osd)( )(f 16.若 则 =ln1x 微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第 5 题） 1.微分方程 的特解为 )0(,yye 2.微分方程 满足初始条件 的特解为
5、x21)(12xy 3.微分方程 的通解为3 xc3 4微分方程 的阶数为 3yysin4)(5 5. 为 3 阶微分方程.iln 6.微分方程 的阶数为 4 xxi)(3 7.微分方程 的阶数是 3yesi4 8.微分方程 的阶数为 4yin)(7)( 9.微分方程 的阶数是 302 10.微分方程 的阶数为 43(4)52sixy 11微分方程 的阶数是 2 yx 12.微分方程 的阶数为 53(5)6()in 二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分） 函数的的基本知识（一般是单项选择题的第 1 题） 设函数 ，则该函数是（ A）xysin A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D
6、既奇又偶函数 2下列函数中为奇函数是（D ） A B C D xsixl2x)1ln(2x 3.设函数 ，则该函数是（B）210y A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 4.设函数 ，则该函数是（B）e x A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 5.设函数 ，则该函数是（A）2 xy A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 6.函数 的图形关于（A.）对称e x A.坐标原点 B. 轴 C 轴 D.xyxy 7.函数 的图形是关于（D.）对称2() xf A B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点y 8.函数 在区间 是（A） 642)4,( A先减后增
7、B先增后减 C单调减少 D单调增加 9.函数 在区间 是（C） 72xy2, A单调减少 B单调增加 C先减后增 D先增后减 10.函数 在区间 是（D） 2)1(),( A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 11函数 在区间 是（B） 2xy, A单调下降 B先单调下降再单调上升 C先单调上升再单调下降 D单调上升 12.下列函数在指定区间 上单调减少的是（D） A B C Dxsinxe2xx3 13.下列函数在指定区间 上单调增加的是（B） A B C D. i2x 25 14函数 的定义域为（ D）xyl41 A B C 且 D 且040x10x4 15.函数 的定义域是（C
8、.）()ln1)f A. B. C. D. -,(0,+)(-l,),)(,1) ,) 16.设 ，则 （D）32xxxf A B C D2 4242x 17.设 ，则 （C）1)(f )(f A B C D2)(x)1( 18. 设 ，则 （A）2xf xf A B C D)(222x 极限与连续（一般是单项选择题的第 2 题） 1.若函数 ，则 （A）.xf2sin)()(lim0xf A B0 C1 D不存在1 2. 已知 ,当( C.)时, 为无穷小量. sin()xf(xf A. B. C. D. 0x1x 3.当 时，下列变量中为无穷小量的是（C）.0x A B C D1xsin)
9、1ln(x2x 4.已知 ,当 ( D.)时, 为无穷小量. xfsin)(xf A. B. C.1 D.0 5.当 （C）时，函数 ，在 处连续. k 0,2)(xkf A0 B1 C2 D3 6.当 （D）时，函数 在 处连续.k,)(xkexf x A0 B1 C2 D3 7当 （C ）时，函数 在 处连续.k 0,1e)(xkxfx A0 B1 C2 D 1e 8.当 =（A）时，函数 ，在 处连续.k ,)(xkxf A1 B2 C D01 9. 当 =（B）时，函数 ，在 处连续.k 2,()fxkx A0 B-1 C1 D2 10.函数 的间断点是（A）23)(2xf A B C
10、 D无间断点,13x3,21x 导数与积分（一般是单项选择题的第 3，4 题） 1函数 在 处的切线方程是（C.）xfln)(e A. B. C. D.y11exy1exy1exy 2.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C） A B C y = x2 + 3 D y = x2 + 4 2 3.下列结论中（C）正确 A 在 处连续，则一定在 处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. )(f00 C 在 处不连续，则一定在 处不可导. D函数的极值点一定发生在不可导点上.x 4.若函数 f (x)在点 x0处可导，则(B)是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有
11、定义 B ，但Axf)(lim0 )(0xf C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微 5. 满足方程 的点一定是函数 的（C） )(f A极值点 B最值点 C驻点 D间断点 6 下列等式中正确的是（D.） A . B. C . D. )cosd(sinxx )1d(lnx)d(xxa)d(21xx 7.以下等式成立的是（A） A B C D 3lnd xx)1(d22xxd)1d(lnx 8.设 ，则 （D） A B C D 9.若 ，则 （B.）.)0()(xxf xfd)( A. B. C. D. c2 ccx2 31cx23 10.下列等式成立的是（A）
12、A B C D)(d)(xffx )(d)(xff )(d)(ff )(dff 11. （A.）f A. B. C. D. cf)(cxf)( cxf)(21 cxf)(1 12.如果等式 ，则 （D.）x 11ed A. B. C. D. 2xx2x 13. 下列无穷积分收敛的是（B） A B C D 0dinxs02dex1d1d 14. ( D.) 12cos)i.(ex A.0 B.1 C. D.3234 15.设 是连续的奇函数，则定积分 （D）)(xf axf-d)( A B C D0 0-d)(2axf0-aaxf0d)( 16. 下列结论中( A )不正确. A. 在 处连续，
13、则一定在 处可微 f00x B. 在 处不连续，则一定在 处不可导x C. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上 D. 若 在 a ， b 内 恒有则在 a ， b 内 函数是单调下降的()f()f 17.若 （B.） 11xxedc， 则 A. B. C. D. 221x1x 18.若 ，则 k=(A. 1)10()xk A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第 5 题） 1.微分方程 的阶数为（B.）xyxysin4)(53 A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 2. 微分方程 的阶数为（C.）xyxysin4)(53 A. 1 B.
14、2 C. 3 D. 5 3.微分方程 的通解是（A.） A. ； B. ； C. ；D. exCy1eCxyCxyCxy21 4.微分方程 的通解为（B.） A. ； B. ； C. ； D. 1xcxcc2 cxy 5微分方程 的特解为（C）)0(,y A B C D 25. xexye1exy 6.函数 是微分方程（D. ）的解xe A. B. C. D. 0y2020 7.微方程 的通解为（C.）y A. B. C. D. cxxcexycexyec 8.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B.） A. ； B. ； C. ； D. yxdxdxsind )(dxy 9.下列微分方程中，
15、（D）是线性微分方程 A B C Dcos2 ysin yyl xlnesi 三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分） 计算极限（一般是计算题的第 1 题） 计算极限 1 解：原式2386lim2xx 214lim)(24li2xxx 2.计算极限 2 解：4li2x 3.计算极限 3 解：原式 4)2(1li2xx 4.计算极限 4 解：原式586lim24xx 321lim4xx 5计算极限 5 解：原式93x )3(li3x 6计算极限 6 解：li2x 5)2(li62m 2 xxx 7计算极限 7 解：m1x 31lim121 lin 8.计算极限 8 解：原式952li3x
16、 4)3(5li3xx 9.计算极限 9 解：原式41li21x 321li1li xx 10.计算极限 10 解：原式5mx 645m)(4511 x 11.计算极限 11 解： 2li68x22=lilixx原 式 12.计算极限 12 解：132lim1xx 13.计算极限 13 解：25611(2)2=limli667xx原 式 求导数 或求微分 （一般是计算题的第 2 题）yd 1. 设 ，求 1 解： xe1y 21(eyx 2.设 2 解： 1,xy求 1231()xxyex 3设 ，求 . 3 解：x 12ey )(21x )(ex 4设 ，求 . 4 解：y3cos5sin
17、sinco5sy x2cosin35cos 5设 ，求 . 5 解：l2 3 xta3i2211 6 设 ，求 . 6 解： xy3cslyd )si(c2y xxyd)csi(d2 7.设 ，求 . 7 解： xoe2 xne ne2 8.设 ，求 . 8 解： ln1 121 )1( 9.设 ，求 . 9 解：xycsyd 10.设 ，求 . 10 解：xxycoslnyd 11.设 ，求 . 11 解： xyx3sin2ydxyx3cos2ln dxdyx)3cos2ln( 12.设 ，求 . 12 解： e 1ee1 计算不定积分（一般是计算题的第 3 题） 1 计算不定积分 1 解：
18、 = xd)2(10 xd)2(10 cxx110)2()(d)2( 2.计算不定积分 2 解： = 9909- 3计算不定积分 3 解：xd)15（ cddx xxx 655 )21()21()(2)1( 4.计算不定积分 4 解： = xd1cos2xd1cos2 cx1sindcos 5.计算不定积分 5 解：2 in2ini() 6.计算不定积分 6 解：xde2 1 7计算不定积分 7 解: 1 cxxx1112ede 8.计算不定积分 8 解： = xdsinsinCxos2sin 9计算不定积分 9 解：co cdxdxinco2co 10计算不定积分 10 解： = xd)1(
19、 2)1( xx32)(12)()1( 11计算不定积分 11 解：xe5 ceeddxex 555 12.计算不定积分 12 解： = dcoscos xsosiniin 计算定积分（一般是计算题的第 4 题） 1.计算定积分 1 解：xln1 3exxdl13e 2ln12)l1d(l 33 11 ee xx 2.计算定积分 2 解： xdl5e1ln5e1 ee x121 )5l(10)5ln)(l( 27)36(0 3.计算定积分 3 解：x0 xd00d 10xx 4.计算定积分 4 解：e 1e1 2ee210 5.计算定积分 5 解：xd0x0xx 1 6.计算定积分 6 解：
20、e2 1 0101012 xedede e42 7 计算定积分 7 解：xdln1 2 222211lnl| (1)e xx 8.计算定积分 8 解： el1 9.计算定积分 9 解：xdcos20 120cossin02sico20 xxdxd 10计算定积分 10 解： 0in 000 1i1in 2sin0x 11.计算定积分 11 解：20sinxd 222000sincos|csin|1xdxxd 四、应用题（本题 16 分） 1.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知 ， ，xhy322Vhx
21、2xh 表面积 ，xVy422 令 ，得 ， 此时 =202x63,4x 由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。4h 1-1 欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ (本题的解法与 1 同，只需把 V=62.5 代入即可。) 解：设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知xhy22108,xx 表面积 xy431084222 令 ，解得 x3=2V=216 此时 x=6, =3 0432x 2xVh 由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。66x3108 1-2.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长
22、方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与 1 同，只需把 V=62.5 代入即可。 2用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使3m 总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有xhS24xh 所以 ,164)(22xS2x 令 ，得 ， 0)( 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小. 1,2hx 此时的费用为 （元） 1604S 3.（1107 考题） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
23、解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其容积rh22.,.rVhr 表面积为 rS2 ， 由 得 ，此时 。24rV 0S3234rh 由实际问题可知，当当容器的底半径与高分别为 与 时，用料最省。V3 3-1.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与 3 完全相同。 4.生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为 ，高为 ，则无盖圆柱形容器表面积为 ，rh r VrhS22 令 ， 得 ，02SrhVr,3 由实际问题可知，当底半径 与高 时可使用料最省。3 5.欲用围墙围成面积为 216 平方米
24、的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能 使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边长为 ，另一边长为 ，共用材料为xx216y 于是 =3y43243x 令 得唯一驻点 （ 舍去） 012x 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为 ，另一边长为 18 时，所用材料最省.12 6设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 7. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高 与底半径 满足 hr22lrh 圆柱体的体积公式为 hV)( 求导并令 0)3( 22l 得 ，并由此解出 lh3lr6 即当底半径 ，高 时，圆柱体的体积最大lrh3 l