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1、,二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,习题课,函数与极限,第一章,一、 函数,1. 概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,2. 特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),3. 下列函数是否为初等
2、函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,4. 设,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,5. 已知, 求,解:,6. 设,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例1.,二、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例2. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b =
3、 .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例3. 设函数,试确定常数 a 及 b .,例4. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6,证:,P74 题*6. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,上连续 , 且恒为正 ,例5. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,证明:,即,上
4、连续, 且 a c d b ,例6. 设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4. 两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,5. 求极限的基本方法,或,例7. 求下列极限：,提示:,令,则有,复习: 若,例8. 确定常数 a , b , 使,解: 原式可变形为,故,于是,而,例9. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为 x 的 k 阶无穷小,则,因,故,阅读与练习,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),注意此项含绝对值,作业 P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13,3. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,