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1、微积分初步期末复习题及参考答案考点归纳总结 一填空题电大考试电大小抄电大复习资料 （1） 的定义域 216ln)(x xf 答案： .),(04,1()04, （2）函数 的定义域是 答案： 且 .)2ln()xf 2x3 （3）函数 的定义域是 答案：24)l(1)xf 2,1(),( （4）函数 ，则 答案：72xf )(f 3xf （5）若函数 在 处连续，则 答案： 0,13sin)(xkf k1k （6）函数 ，则 答案：xf2)()(f )(2xf （7）函数 的间断点是 答案：13 2y 1 （8） 答案：1xxsinlm （9）若 ，则 答案：2i40k2k （10）曲线 在
2、点的切斜率是 答案： )(f),( 21 （11）曲线 在 点的切线方程是 答案： xe1 exy （12）已知 ，则 = f3)()(f 答案： ， =27（ln2xx )3(f)ln1 （13）已知 ，则 = fln)()(f 答案： ， =x121x （14）若 ，则 fe)()0(f 答案： ，xxe)0(f2 （15）函数 的单调增加区间是 答案： ),1( （16）函数 在区间 内单调增加，则 应满足 答案：1)(2axf ),0(a0a （17）若 的一个原函数为 ，则 . 答案：2lnxfx2 （18）若 ，则 答案： cxfsid)()(cos （19）若 答案：_oc xs
3、in （20） 答案： 2ex c2e （21） 答案：d)(sinxsi （22）若 ，则 答案：cxFf)(fd)32( cxF)32(1 （23）若 ，则 答案：)( x1 （24） 答案：._)2cosin 1xx32 （25） . 答案：0 e1d)l(dx (26)已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲线过 ，则该曲线的方程是 . 答案：fyxx1)5,4( 12xy (27)由定积分的几何意义知， = . 答案：xad024 2a (28)微分方程 的特解为 . 答案： 1)(,y xye (29)微分方程 的通解为 . 答案：3c3 (30)微分方程 的阶数为 答案：4xy
4、xysin4)(7)( 二选择题 （1）设函数 ，则该函数是（B ） 2e x A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 （2）下列函数中为奇函数是（ C ） A B C Dxsin2e x )1ln(2x2x （3）函数 的定义域为（ D ） )5ln(4xy A B C 且 D 且5x0x5x4 （4）设 ，则 （ C ）1)(2f )(f A B x C D)2(x)1(2 （5）当 （ D ）时，函数 在 处连续.k 0,xkexfx A0 B1 C D 23 （6）当 （ B ）时，函数 ，在 处连续.k 0,1)(2xkxf A0 B1 C D （7）函数 的间断点是（A
5、 ）23)(2xf A B ,x3x C D无间断点1 （8）若 ，则 =（ C ） xxfcose)()0(f A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 （9）设 ，则 （ B ） A B C D （10）设 是可微函数，则 （ D ） )(xfy)2(cosdxf A B 2cos xd2in C Dxfin)( fs)(c （11）若 ，其中 是常数，则 （ C ） 3saxx A B C D2cox6sinsinxcos （12）函数 在区间 是（ D ） 2)1(y),( A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 （13）满足方程 的点一定是函数 的（ C ）.0)(xf )
6、(xfy A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点 （14）下列结论中（ A ）不正确 A 在 处连续，则一定在 处可微.)(xf00x B 在 处不连续，则一定在 处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D函数的极值点可能发生在不可导点上. （15）下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） A B C Dxsinxe2xx3 （16）下列等式成立的是（ C） A B)(d)(ff )(d)(ff C Dxx x （17）以下等式成立的是（ D ） A B )1d(ln)(cosdsinx C D x3lx （18） （ A ）fd)( A. B. cxcxf)( C. D. f
7、)(211 （19）下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A B x xde1 xxd2e1 C D )cos(3 )sin( （20）设 是连续的奇函数，则定积分 （ A ） xf axf-d) A0 B C D 0-d)(af0(0-)(2af （21）下列无穷积分收敛的是（ D） A B 0inxs1dx C D1d02ex (22)在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） A y = x2 + 3 B y = x2 + 4 C D 1 (23)下列微分方程中， （D ）是线性微分方程 A B yyxln2 xye2 C De xylnsin (24)
8、微分方程 的通解为（ C ） 0y A B C Dxxyy0y (25)下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） A. ； B. ； xydxd C. ； D. xsin)(y 三计算题 （1） 423lim 2x 解： 412lim)(1lili22 xxxx （2） 39li23x 解： 23461li)(3lilim323 xxxx （3） 4586li24x 解： 321lim)(2lili 4424 xxxx （4） 563lim21x 解 （1） 1453li)(1lili 12 xxxxx （5）计算极限 x1li0 解： )1(lim)1(lim1li 000 xxx xxx
9、 2)(li0x （6）计算极限 x4sin1l0 解： xi1lm0 )1(4sinlm)1(il 00 xxxx 8)(4sinlm)(4sinl 00xx （7）设 ，求 xy 12ey 解： )(2xx )1(ex （8）设 ，求 .y3cos4siny 解： )in(2xx 2cs3cs （9）设 ，求 .xye1y 解： 2(x (10) 设 ，求 .xy 1sineyd 解： )1(cos)(i 1insi xxx )1(cose21inxxydxd)(e21sin （11）设 ，求 .)ln(2xy3 解： 1 12 x )1(2122 xx 1212xx 12x213)(y
10、(12) ，求 .xxy2coslney 解：方程两边对自变量 x 求导，视 y 为中间变量，有 xy 2sinln)( 于是 yxxe2sile 整理方程解出 ，得y xyxyxy xlne2silne （13）设 ，求 .xcosln 解： )i(123xy xta23 1 （14）设 是由方程 确定的隐函数，求 .)4yyd 解：方程两边对 求导，得x0)(x y2 于是得到 xyd （15）设 ，求 2ecosyxd 解：方程两边对 求导，得 yyx2esin yy2e 于是得到 xydsind （16） x)12(0 解： cxx110)2()d()2(d （17） xd 1sin2
11、 解： cx1ossi i2 (18) xxd)e4(2 ln0 解： )ed(4)(2 2ln02l xx = 3152631e l x （19） ； xd12 解： = 2 uxd12)1d(2)1(2x = ccu （20） xd)e(12 解： （ ）uxxx d1)e(d)(1)( 222 xe1 = ccux （21） xdln e12 解：方法 1换元换限. 令 , 则 , 且当 时, , 时, , 于是有ulx110uex1u3)(3dln3002e12 方法 2 只凑微分不换元, 不换积分限. )(lnl e12e12xx 31)(lnel31)(lne x （22） dsi
12、n203 因为 =xdsin203 xxxdsincodsinsico1 2020202 对于积分 i2020 对于积分 用凑微分法, xdsinco20 方法 1 令 , 则 , 且当 时, , 时, , 于是有uxusi01u2x0u31dsinco001220x 方法 2 只凑微分不换元, 不换积分限. 31cosdscodsinco 202020 xxx (23) xl51 e 解： 27)136(0)ln51(0)ln51()l(dln 121 e1 ee xxd (24) x0 解： 1eded0 101 xx (25) 20sinx 解： 1sindcocsdi 202020 x
13、x 四应用题 （1）欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知xhy228,1xhx y431084222 令 ，解得 是唯一驻点， 0432x6x 且 ，63xy 说明 是函数的极小值点，所以当 ， 用料最省.x6x31082h （2）用钢板焊接一个容积为 4 的正方形的水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？3m 最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有xhS24xh 所以 ,164)(22xS2 令 ，得 ， 0)(x 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小. 1,2hx 此时的费用为 （元） 1604)2(S