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1、最优投资组合构造成员：刘建 张蔷 闫慧新 陈静 陈慧 韦宏 王长兰摘要：投资市场上风险资产数量众多，各种资产组合也并不鲜见，针对投资者面对收益风险各有特性的资产组合无法做出合理决策的情况，本文在马克维茨有效边界的资产组合模型的基础上，应用数学分析方法，对三种风险资产组合的收益及风险进行了详尽的论述，对做决策的投资者有一定的参考价值。关键词：资产组合、有效边界、收益率、风险投资的问题究其实质就是一个选择的问题。面对市场上数量众多、特性各异的金融资产，投资者必须充分研究市场，不失时机地作出投资决策，期望在既定的资源约束条件下以最高的效率实现最大的收益；另外，投资是要承担风险的，如何正确地协调收益于
2、风险的矛盾是投资决策的难点所在。马科维茨为人们提供了解决问题的方法和工具。一、 投资组合的理论背景 1952年马科维茨（Markowitz H M.）发表了堪称现代微观金融理论史上里程碑式的论文-投资组合选择。论文阐述了衡量收益和风险水平的定量方法，建立了均值方差模型的基本框架，奠定了求解投资决策过程中资金在投资对象中的最优分配比例问题的理论基础。资产组合理论所要解决的核心问题是，以不同资产构建一个投资组合，提供确定组合中不同资产的权重（投资比例），达到是组合风险（方差）最小的目的。二、相关概念 投资者同时买卖不同种类或不同收益的资产，这样便构成了一个投资组合。为什么金融投资要采取组合投资的方
3、式？西方有句谚语是：不要把所有的鸡蛋放到同一个篮子里。在投资实践中，人们发现，绝大多数投资者不愿意将所有的资金投入个别资产，因为这样会面临极大的投资风险。投资者进行投资决策时，总是在收益和风险的权衡中选择或调整自己的资产或资产组合，力图以最小的成本实现最大的收益。毫无疑问，理性的投资者所追求的目标是投资收益的最大化或投资风险的最小化。你们如何来评价投资的风险和收益？在马科维茨的体系里资产或资产组合的收益和风险通常用预期收益率和收益的标准差（或方差）来衡量。就收益方面看，对资产收益的评估可以用预期收益率。资产的预期收益率（即期望收益率）是资产所有可能的不同收益结果的加权平均值。资产组合的预期收益
4、率E(rp)是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。就风险而言，一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。方差或标准差越大，实际收益与预期收益的偏离就越大，投资的风险就越大。三、模型的前提假设马科维茨的投资组合理论是建立在单一期间和终点财富的预期效用最大化基础上的。所谓单一期间是指投资者持有资产的期间是确定的，在期间开始时持有证券并在期间结束时售出。由此即简化了对现金流的贴现和对复利的计算。此外，马科维茨投资组合理论还包括了下列前提假设：（1）证券市场是有效的。该市场是一个信息完全公开、信息完全传递、信息完全解读、无信息时滞的市场。（2）投资者为理性的个
5、体，服从不满足和风险厌恶的行为方式；且影响投资决策的变量是预期收益和风险两个因素；在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产组合；在同一收益水平上，则偏好风险较小的资产组合。（3）投资者以均值和方差标准来评价资产和资产组合。（4）资产具有无限可分性。四、资产组合模型投资决策或资产选择的要点之一是确定有效边界，有效边界所代表的有效资产组合同等风险条件下预期收益率最高的组合以及同等收益条件下风险最低的组合。不同风险承受能力的投资者可以沿着这条线找到自己最佳的投资组合。对于存在多个风险资产的金融市场而言，可以构成无限多个资产的组合。所有这些资产组合的集合，代表了投资者全部的投资机会，即可行集。在二维
6、-的坐标系中，可行集为双曲线以内的部分，投资者只能在此区域范围内挑选可能得到的资产或者资产组合。从整体上讲，理性投资者通常遵循一下两个准则：相对于同等风险水平，预期收益率要求最大；相对于同等收益水平，风险要求最小。因此，位于虚线以上的双曲线被称为有效边界（又称马科维茨 有效集）。有效边界上的每一点都代表一个不仅可行而且有效的资产组合，明智的投资者将会在有效边界上发现并选择最佳投资组合，所有其他的组合均为无效组合，投资者可以不予考虑。1. 有效边界的推导投资决策或资产选择的要点之一是确定有效边界，有效边界所代表的有效资产组合包括同等风险条件下预期收益率最高的组合以及同等收益条件下风险最低的组合。
7、针对每一预期收益率，求相应的的风险水平最小值。如给定r1 ，最小化而得到1,由此构成一个组合T1（1，r1）；然后给定r2，类似地得到另一个有效组合T2（2，r2）依此类推，但要注意的是，如此形成的曲线并不完全符合有效边界的定义，因为在这条曲线上，一个既定的风险水平可能对应着两个高低不同的预期收益率。于是，曲线下半部分应当被排除在有效边界的范围之外。1) 最小方差集 从方差最小化的思路出发，建立最小方差集的数学模型。 设有n种风险资产，预期收益率向量为，协方差矩阵为，投资比例向量是X，给定资产组合的一个预期收益率r，求解下列规划问题： Min(1/2)X X s.t. X = r IX = 1
8、 因为模型未规定X的符号，意味着不限制卖空。构造拉格朗日函数： L = （1/2）X X（X - r）+ 2（IX - 1） 列出一阶条件得方程组： L/X = X +2 I = 0 (2.1) L/ =X- r= 0 (2.2) L/2=IX - 1= 0 (2.3) 由（2.1）解得：X = -（-1 +2-1 I），将其代入（2.2）和（2.3）： -1 +2 -1 I + r =0 I-1 +2 I-1 I + 1 =0 因-1仍是对称正定矩阵，故可令U = -1 ，V= I-1 I，W =-1 I,于是： U +2 W + r = 0 W +2 V + 1 = 0 解方程组可得： =
9、（Vr W）/(W2 - UV) 2 = (U Wr)/ (W2 - UV) 代入并整理，有： X = (V-1 - W-1 I)/( UV - W2 )r +(U-1 I - W-1 )/( UV - W2 ) 这就是当预期收益率为r时最小风险组合所要求的投资比例，它是r的一次函数，将其代入目标函数2= X X，可看出2是r的二次方程。由r的任意性可知，风险组合的最小方差集是二次曲线。下面采用解线性方程组的方法进行讨论计算，将拉格朗日函数的一阶条件写成（n+2）元线性方程组的形式：11X1 +12X2 +1nXn + 1 +2 = 021X1 +22X2 +2nXn + 2 +2 = 0 n
10、1X1 +n2X2 +nnXn + n +2 = 0 1X1 + 2X2 +n Xn r = 0 X1 + X2 + +Xn 1 = 0 令行列式： 11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 1 D= n1 n2 nn n 1 1 2 n 0 0 1 1 1 0 0 11 12 1，i-1 0 1,i+1 1n 1 1 21 22 2，i-1 0 2,i+1 2n 2 1 Di = n1 n2 n，i-1 0 n,i+1 nn n 1 1 2 i-1 r i+1 n 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0假设协方差矩阵非奇异，D0.根据克莱默法则： Xi = Di / D X =(1/D
11、)( Di , D2 ,Di ,Dn )由于行列式Di 中均含有r，因而每个Xi都是r的一次函数，于是存在n维列向量J1和J2，使X = J1+ J2r，代入目标函数并考虑到的对称性，求得最小方差集的方程为：Min2 = X X = （J1+ J2r）（ J1+ J2r） =（J1+ J2r）（ J1+ J2r） = J1J1 +2（J1J2）r +( J2J2)r2 令r在上连续地上下任意取值，则上述方程描画出一条二次曲线。设a= J2J2 , b=2J1J2 , c= J1J1 ,方程可简化为： 2 = a2 + b + c这是最小方差集的标准数学形式。又因正定，a 0,所以最小方差集在
12、-坐标系中是双曲线，而在-2坐标系中是抛物线，因为方差最小者标准差也最小，因而没有必要区分最小方差集与最小标准差集。2）有效边界对由多种风险资产构成的投资组合，有效边界不过是最小方差集里绝对最小方差组合E以上的部分，通常情况下表现为双曲线的一段。3 .以股票为例进行投资组合计算根据以上模型，以五粮液、招商银行、亿利能源三支股票为例，进行风险投资组合计算： 表3-1 五粮液股票的相关信息 月份 开盘价 收盘价 月收益率五粮液2010.0724.3027.7814.32%10.0828.0031.7213.29%10.0931.7534.338.13%10.1034.4936.505.83%10.
13、1136.6039.136.91%10.1239.1434.63-11.52%11.0134.9032.85-5.87%11.0232.9532.970.06%11.0333.0031.89-3.36%11.0431.8732.973.45%11.0533.0033.010.03%11.0633.0235.728.18%11.0735.7838.006.20% 表3-2 招商银行股票的相关信息 月份开盘价收盘价月收益率招商银行2010.0712.8214.5213.26%10.0814.8813.54-9.01%10.0913.5912.95-4.71%10.1013.1014.5711.22
14、%10.1114.6113.05-10.68%10.1213.0512.81-1.84%11.0112.9112.63-2.17%11.0212.6512.871.74%11.0312.9114.099.14%11.0413.9814.463.43%11.0514.4913.91-4.00%11.0613.8513.02-5.99%11.0713.0612.35-5.44% 表3-3 亿利能源股票的相关信息 月份 开盘价 收盘价 月收益率亿利能源2010.079.1010.3914.18%10.0810.5012.2716.86%10.0912.3913.9412.51%10.1014.101
15、5.8112.13%10.1115.6414.59-6.71%10.1214.5913.08-10.35%11.0113.0912.57-3.97%11.0212.6814.1811.83%11.0314.2015.358.10%11.0415.3014.72-3.79%11.0514.8812.39-16.73%11.0612.4014.3215.48%11.0714.2013.85-2.46% 表3-4 三支股票数据比较五粮液招商银行亿利能源期望收益率：0.0351052-0.003875040.036198242收益率方差20.0055420.0058752360.01276726标准差
16、0.07444440.0766500890.1129923 表3-5 股票之间的相关系数五粮液招商银行亿利能源五粮液1招商银行-0.0386251亿利能源0.595892180.2887395031分别用r1、r2 、r3表示五粮液、招商银行、亿利能源三支股票的收益率，根据公式Cov(rx ,ry)= xyxy ,计算得：Cov(r1,r2)= - 0.00023Cov(r1,r3)= 0.00502Cov(r2,r3)= 0.00252因此， 0.006 -0.00023 0.00502 = -0.00023 0.006 0.002520.00502 0.00252 0.013 行列式D和D
17、i （i=1,2,3）分别为：0.006-0.000230.005020.0351-0.000230.060.00252-0.0041D =0.005020.002520.0130.03610.035-0.0040.03600111000-0.000230.005020.035100.0060.00252-0.0041Di =00.002520.0130.0361r-0.0040.03600111000.00600.005020.0351-0.0002300.00252-0.0041D2 =0.0050200.0130.03610.035r0.0360011100 0.006-0.000230
18、0.0351-0.000230.0060-0.0041D3 =0.005020.0025200.03610.035-0.004r0011100计算得： D = 0.0000139316 Di = 0.00000532016 +0.00019524 r D2 = 0.0000124054 + -0.00035317 r D3 = -0.0000037940 + 0.00015793 r则： X1= 0.381878+ 14.01422r 0.382+14.014r X2= 0.890453 -25.3504r 0.89-25.35r X3= -0.27233+ 11.33613r -0.272+
19、11.336r根据模型，可得： 0.382 14.014J1= 0.89 J2= -25.35 -0.272 11.336 a= J2J2 = 7.014718 7.015 b=2J1J2 = -0.02977 -0.030 c= J1J1 = 0.008697 0.009即 ： 2 = 7.0152 -0.030 + 0.009 wDwEwFE(rp)200.80.20.004140.0089960.09484700.40.40.0129290.0097850.09891800.60.60.0193940.0110570.10515100.20.80.0281840.0137270.1171
20、610.80.200.0273090.0134120.1158120.60.400.0195130.0110860.1052880.40.600.0117170.0096120.0980390.20.800.0039210.008990.0948170.200.80.035980.0170020.1303910.400.60.0357610.0168980.1299930.600.40.0355420.0167960.1295970.800.20.0353240.0166930.129203绘图如下最小方差集在 -坐标系中是双曲线，而在-2坐标系中是抛物线，因为方差最小者标准差也最小，因而没有
21、必要区分最小方差集与最小标准差集。 根据上述计算中的公式，也可以求出一定收益率下各支股票在资产组合中的权重。 现代资产组合理论是通过建立数学模型进而精确地计算各种资产的持有量来分散投资风险的，因而其合理运用绝不是一蹴而就之事。结合我国实际，我们认为在我国借鉴现代资产组合理论应注意如下三个方面的问题：实用性，有效性和局限性。现代资产组合理论通过以马科维茨，夏普，罗斯等为首的众多经济学家的努力，在基本概念的创新，理论体系的完善，研究结论的实证和结论应用的拓展上都取得了重大进展。 但时至今日，现代资产组合理论仍然存在方方面面的问题。如：理论假设过多，风险分散方式有限，风险观念判断机械，实际应用操作困难等方方面面的缺陷。结合对资本市场的大量实证研究，资产组合理论仍处在不断完善之中。参考文献：(1) 投资学 史建平，杜惠芬 武汉大学出版社(2) 证券投资分析 中国证券业协会 中国财政经济出版社(3) 我国股市资产组合理论的研究 刘铁锤 厦门大学(4) 投资学 滋维.博迪，亚历克斯.凯恩.， 艾伦.马库斯(5) http:/ http:/ http:/