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1、第二节 导数的运算,一、基本初等函数的求导公式 二、导数的四则运算法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、隐函数的求导法则 六、由参数方程确定的函数的求导法则 七、对数求导法,一、基本的初等函数的求导公式,二、导数的四则运算法则,定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有,证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量,于是,此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则,因此,定理2.3 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有,证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则,此定理可以推广到有限个函数相乘的
2、情况，例如u，v，w分别可导，则,由定理3.3容易得到一个重要的结论：若u可导，c为常数，则 . 即求导时，常数因子可以提出来.,定理2.4 设u=u(x),v=v(x)可导，且 ，则 可导，且有,证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则,因此,例1,解,例2,解,例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式：,解,同样可以得到另外两个基本公式：,解,例4,例5 设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x)，求 .,解,三、反函数的求导法则,定理2.5 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有,证 因为 在某区间内严格
3、单调、连续，而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的.,所以当 时,且x0时, y0,故,例6 证明：,证 内严格单调、连续，且,所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(1,1)内严格单调、连续、可导，且有,同样可得,当然，如果得到了arcsin x 的导数，也可以用下面的方法得到arccos x的导数，即,例7 证明：,所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调，连续，可导，且有,同样也可得,证 在内 严格单调、连续，且 ，,四、复合函数的求导法则,定理2.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x)在x可导，且有,证 由
4、得到,当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，,复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)就可导，且有,此时必有 或者 .因而总有 .故,例8 设y=sin3 x，求 .,解 令,例9 设y=ln(cos x)，求 .,解 令,例10 设,解 令,例11 设,解 令 则,例12 设,解,例13 设y=ln(x+tan x)，求 .,解,例14,解,例15 计算,若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.,解,例16,解,例17,解,例1
5、8 一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度.,两端关于t求导，得,则,即所求的分离速度为 米/秒.,五、隐函数的求导法则,自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.,隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，
6、甚至是不可能的.对于隐函数求,导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.,例19 设y=y(x)由 确定，求 .,解 两边对x求导，得,解方程得,例20 求隐函数 的导数,解,例21 求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程.,解,切线斜率,法线斜率,所以切线方程为,法线方程为,六、由参数方程确定的函数的求导法则,若将由参数方程 所确定的函数看成复合函数： ，则由复合函数的求导法则，有,例22 设,解,例23 设,解,例24 求曲线 在t=e处的切线方程和法线方程.,解,所以切线斜率,当t=e时，x=e，y=e.,法
7、线斜率,故切线方程为,法线方程为,例25 以速度v0,发射角发射炮弹,炮弹的运动方程为,求:(1)炮弹在时刻t的运动方向;(2)炮弹在时刻t的速度.,解 (1)炮弹在时刻t的运动方向就是炮弹运动轨迹在时刻t的切线方向，所以只需求出切线的斜率,(2)炮弹在时刻t沿x轴方向的分速度为,沿y轴方向的分速度为,故炮弹在时刻t的速率为,七、对数求导法,在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.,所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.,所以,两边对x求导，得,例26,例27 设y=xxlnx-x,用对数求导法求y.,解,解,例28 设,所以,例29,求,解,所以,