第2章连续系统的时域分析ppt课件.ppt

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1、第2章 连续系统的时域分析,2.1 线性连续系统的描述及其响应 2.2 奇异函数 2.3 冲激响应和阶跃响应 2.4 卷积积分 ,2.1 线性连续系统的描述及其响应,2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 1. 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R，uR(t)=RiR(t)；,(2)电感L， (3)电容C， (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。,2. 结构约束KCL与KVL 下面举例说明。 例21 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列

2、出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。,图2.1 例21图,解 由KVL，列出电压方程,对上式求导，考虑到,（2-1）,根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),(22),整理上式后，可得,(23),例22图2.2所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 解,解此联立方程，最后求得,(24),(25),(26),图2.2 例22图,从上面两例可得到两点结论： (1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。 (2)输

3、出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。 这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。,2.1.2 微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可写为 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) (27) 式中an-1，a1，a0和b

4、m，bm-1，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) (28) ,1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (29) 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为 n+a n-1n-1+a1+a0=0 (210),(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)个根+1，+2，n

5、都是单根，则微分方程的齐次解,(211),(212),(3)特征根有一对单复根。即1, 2=ajb，则微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (213) (4)特征根有一对m重复根。即共有m重1,2=ajb的复根，则微分方程的齐次解,(214),例23 求微分方程y(t)+3y(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程2+3+2=0解得特征根1=-1， 2=-2。 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t 例24求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此该

6、方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t,例25求微分方程y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解由特征方程2+1=0解得特征根是一对共轭复数1,2=j，因此，该方程的齐次解 yh(t)=c1cost+c2sint 2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表21列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。,表21 激励函数及所对应的解,例26若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。 解查表21，因为f(t)=e-t，=-1与一个特征根1=-1

7、相同，因此该方程的特解,将特解yp(t)代入微分方程，有,3.完全解 根据式(28)，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为,(215),当特征根中1为重根，而其余(n-)个根均为单根时，方程的全解为,(216),如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为式(215)，将给定的初始条件分别代入到式(215)及其各阶导数，可得方程组 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0),例27描述某线性非时变连续系统的微分方程为y(t

8、)+3y(t)+2y(t)=f(t)，已知系统的初始条件是y(0)=y(0)=0，输入激励f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。 解 在例23和例26中已求得该方程的齐次解和特解，它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t,由初始条件y(0)=y(0)=0，有 y(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)u(t),2.1.3 零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状

9、态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t) (217),在零输入条件下，式(27)等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应 式中cxi为待定常数。 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(27)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应,(218),(219),式中cfi为待定常数。 系统的完全响应即可分解为自由响

10、应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为：,(220),式中,(221),在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在t=t0时刻，有,(222),例28如图2.3(a)所示的电路，已知L=2H，C=0.25F，R1=1，R2=5；电容上初始电压uC(0-)=3 V,电感初始电流iL(0-)=1A；激励电流源i(t)是单位阶跃函数，即i(t)=u(t)A。试求电感电流iL(t)的零输入响应和零状态响应。 解 图2.3(a)即例21题。若以iL(t)为输出变量，已知其微分方程为,

11、将各元件数值代入得,图2.3 例28图,(1)零输入响应。当输入为零时，电感电流的零输入应满足齐次方程,其特征根1=-1，2=-2，因此零输入响应,已知iLx(0+)=1A，由KVL：,再由 可得,解得 ，故而,(2)零状态响应。输入iS(t)=u(t)A。在t0时， iS(t)=1A ， 代入零状态响应方程 其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1，所以，系统的零状态响应 iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t0),已知iLf(0+)=0，且,有,解得,(3) 完全响应。,2.2 奇异函数,2.2.1 奇异信号(函数)的时域描述 1

12、.冲激信号 冲激信号记为(t)，其一般定义式为,(223),图2.4 冲激信号及延时冲激信号,冲激信号也可用泛函定义为 图2.5就是(t)的两个工程信号模型。尽管图中P1(t)与P2(t)不尽相同，但两者都满足上述要求。当0时的极限情况都可形成冲激信号(t)。即,(224),图2.5 (t)的两个工程信号,补充说明下面两点： (1)冲激信号的作用不一定仅是t=0时刻，可以延时至任意时刻t0。以符号(t-t0)表示，其波形图如图2.4(b)所示。(t-t0)的定义式为 (t- t0)=0, tt0； (t- t0), t=t0；,且,(225),仿照式(224)同样有(t-t0)的泛函数定义 (

13、2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的定积分值，如A(t)表示该冲激信号的强度为A，即有 。冲激信号的强度在图中以括号注明，以示与信号的幅值相区分。,(226),2. 阶跃信号 阶跃信号以符号u(t)表示，其定义为,其波形如图2.6(a)所示。,图2.6 阶跃信号与延时阶跃信号,阶跃信号u(t)在t=0处存在间断点，在此点u(t)没有定义。同样，阶跃信号也可延时任意时刻t0，以符号u(t-t0)表示，其波形如图2.6(b)所示，对应的表示式为,(227),例29 试用阶跃函数表示图2.7所示的延时脉冲信号和方波信号。 解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0

14、) w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5) w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0),图2.7 例29图,阶跃信号最重要的特性是有单边性。任意连续时间信号f(t)(-0)，而t0时，信号为零，如图2.8所示。,图2.8 阶跃信号的单边特性,从阶跃信号与冲激信号的定义，可以导出阶跃信号与冲激信号之间的关系，即有,(228),(229),这表明冲激信号是阶跃信号的一阶导数，阶跃信号是冲激信号的时间积分。从它们的波形可见，阶跃信号u(t)在t=0处有间断点，对其求导后，即产生冲激信

15、号(t)。以后对信号求导时，凡不连续点的导数就用冲激信号或延时冲激信号来表示，冲激信号的强度就是不连续点的跳跃值，如图2.9所示。,图2.9 冲激信号与阶跃信号之间的关系,3. 斜坡信号 斜坡信号以符号(t)表示，其定义为,(230),还可以表示为,(231),图2.10 斜坡信号与延迟斜坡信号,还可以表示为 (t-t0)=(t-t0)u(t-t0) (-t) (2 33) 应用斜坡信号与阶跃信号，可以表示任意的三角脉冲信号，如图2.11所示。此时f(t)可写为 f(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2)-u(t-2),(232),图2.11 斜坡信号表示三角脉冲信号,从阶跃信号

16、与斜坡信号的定义，同样可以导出阶跃信号与斜坡信号之间的关系，即有,(234),(235),4.冲激偶信号 对冲激信号(t)求时间导数，得到一个新的奇异信号，即冲激偶信号，其表示式为,(236),图2.12 冲激偶信号,2.2.2 冲激信号的特性 1.筛选特性 如果信号f(t)是一个在t=t0处连续的普通函数，则有 2.取样特性 如果信号f(t)是一个在t=t0处连续的普通函数，则有 f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0) (238),(2),3. 展缩特性,上式的证明可利用冲激函数的泛涵定义，即只需证明,(239),(240),4.卷积特性 如果信号f(t)是一个任意连续时间函数，则有

17、上式表明任意连续时间信号f(t)与冲激信号(t)相卷积，其结果还是信号f(t)本身。冲激信号的上述特性在信号与系统的分析中具有重要的作用，下面举例说明冲激信号特性的应用。,(241),例210 计算下列各式的值：,解,2.2.3 初始状态等效为信号源 引入奇异函数概念之后，我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系。在任意时刻t，图2.13(a)中电容端口电压uC(t)与电容电流i(t)的关系是,如果选初始时刻为t=0，那么，在t0的任意时刻， 上式可写为,式中u(t)为单位阶跃信号。积分下限取0-是考虑到iC(t)可能包括冲激信号(t=0时的冲激)。如果iC(t)不包含冲激信号，即iC(t)

18、连续有界，则可不必区分0-与0+。,或写为,(242),图2.13 t0时，电容的时域模型,将式(242)求导数并乘以C，得,(243),移项，有,图2.1中(a)，(b)，(c)三个电路对于端口电压uC(t)和电流iC(t)来说是互相等效的。同理，对于电感L，也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图2.14所示：,(244),(245),从式(244)、式(245)和图2.14中可知，具有初始电流iL(0-)的电感L，在t0-的时间范围内，可用初始状态为零的电感L与电流源iL(0-)相并联表示，或与电压源LiL(0-)(t)相串联表示。图2.14中(a)，(b)，(c)三个电路是互相等效的。,

19、图2.14 t0时，电感的时域模型,2.3 冲激响应和阶跃响应,2.3.1 冲激响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。其示意图如图2.15所示。,图2.15 冲激响应示意图,1.冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。 例211已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。,解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f

20、(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,特征根1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有,即,解得A=2，因此，系统的冲激响应为,求导后，对含有(t)的项利用冲激信号(t)的取 样特性进行化简，即,例212 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(

21、t)最高次h(t)也必须含有(t)。这样，冲激响应h(t)必含有(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为 特征根为1=-6，因此设 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有,解得,即,因此，系统的冲激响应为,例213 已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,考虑到该动态方程的特征方程为2+3+2=0，特征根1=-1，2=-2，因此设,式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激响应为,例214 RLC串联电路如图2.16所示。R=3，L=0.5H，C=0.25F，电路输入激励为单位冲激电压(t)。电路的初始状

22、态为零，试求系统的冲激响应电容电压uC(t) 解 由KVL,由VAR,即有,图2.16 RLC串联电路,考虑到该动态方程的特征方程为,代入R、L、C元件参数值并化简得,特征根 因此设,式中A、B为待定系数。则有 uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)(t) uC(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 将uC(t),uC(t)及u(t)代入原动态方程式解得 A=4，B=-4 因此，系统的冲激响应电容电压为 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t),根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时，

23、若等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，则有,(246),(247),nm时，,n=m时，,2.等效初始条件法 系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。 例215 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t

24、)，故设 h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 将h(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2，B=-6,例216 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+5h(t)+4h(t)=2(t)+3(t)t0 由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t),因而有

25、h(t)=A(t)+Bu(t) h(t)=Au(t) 将h(t)，h(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得 A=2，B=-7，C=27 因此可得 h(0+)=A=2,h(0+)=B=-7,h(0+)=27,例217 已知某线性非时变系统(LTI)的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)+5f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)+5(t)t0 由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t),因而有 h(t)=A(t)+Bu(t) 将h(t

26、)与h(t)分别代入原动态方程有 A(t)+(A+B)(t)+(B+C)u(t)=2(t)+5(t) 解得 A=2，B=3，C=-3 以上表示在t=0处，h(t)含有幅度为B的跳变，h(t)含有幅度为C的跳变。因此可得 h(0+)=B，h(0+)=C,3.其它方法 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程。,例218 已知某线性非时变(LTI)系统在 f1(t)=4u(t-1)作用下，产生的零状态响应为 y1

27、(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 试求系统的冲激响应h(t)。 解已知系统在f1(t)作用下产生响应为y1(t)，而系统的冲激响应h(t)为系统在冲激信号(t)作用下产生的零状态响应。因此，为求得系统的冲激响应h(t)，只需找出f1(t)与冲激信号(t)之间的关系即可。 已知 f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3),根据线性系统的特性，可以有,根据非时变系统的特性，可以有,2.3.2 阶跃响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶

28、跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。,图2.17 阶跃响应示意图,如果描述系统的微分方程是式(27)，将f(t)=u(t)代入，可求得其特解 若式(27)的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为,(248),(24),例219若描述系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。 解 系统的特征根为1=-1，2=-2，由式(249) 知，其阶跃响应 g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t) 它的一阶，二阶导数(考虑到冲激函数的抽样性质)分别为 g(t)=(c1+c2+1)(t)

29、+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t) g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1-2c2)(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t),将f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其导数g(t)和g(t)代入系统的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)(t)+(2c1+c2+3)(t)+2u(t)= 1/2(t)+2u(t) 由系统对应相等有,所以，系统的阶跃响应为,2.4 卷积积分,2.4.1 信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更

30、加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。,图2.18 信号分解为冲激序列,从图2.18可见，将任意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即,式(252)只是近似表示信号f(t),且越小，其误差越小。当0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当0时，k，d，且,故式(252)在0时，有,(253),2.4.2 卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都分解为冲激信号

31、序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。 由式(253)可得,上式表明,任意信号f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号f(t)只是冲激信号(t-k)前的系数f(k)不同(系数亦即是该冲激信号的强度)。这样，任一信号f(t)作用于系统产生的响应yf(t)可由诸(t-k)产生的响应叠加而成。对于线性非时变系统，若系统的冲激响应为h(t)，则有下列关系式成立。,系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，为,(254),例220已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t

32、)=2f(t)t0 输入激励为3u(t)，试求系统的零状态响应yf(t)。 解 首先计算系统的冲激响应h(t)，即 h(t)+3h(t)=2(t)t0 应用冲激平衡法，故可设 h(t)=Ae-3t u(t) 将h(t)及h(t)分别代入冲激响应微分方程式得 Ae-3t(t)-3Ae-3t u(t)+3Ae-3t u(t)=2(t)t0,解得A=2，因此，冲激响应h(t)=2e-3t u(t)，系统的零状态响应为,由上例可见，如果激励f(t)和冲激响应h(t)均为因果函数(即有t0，f(t)=0，h(t)=0)，并且系统的特征根均为单根，那么全响应,(255),例221RC串联电路如图2.19所

33、示。已知电路的激励uS(t)=e-t u(t)。试求零状态响应 yf(t)=uC(t)。,图2.19 例221图,解 由KVL得 uR(t)+uC(t)=uS(t),由于激励信号uS(t)和冲激响应信号h(t)都是有始信号，所以，对于t0，有,因此，零状态响应,例222 已知某线性非时变(LTI)系统数学模型为 输入激励f(t)=e-t u(t)，且已知h(0)=0，h(0)=1。试用卷积积分法求系统的零状态响应yf(t)。 解 系统的特征方程为2+3+2，特征根为1=-1，2=-2。又因为nm，因此，设 h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t) 由h(0)=0，h(0)=1，解得c1=

34、1，c2=-1。因此，系统的冲激响应 h(t)=(e-t-e-2t)u(t),由于激励f(t)=e-t u(t)和冲激响应h(t)均为因果函数，因此，在t0时，有,因此，零状态响应 yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t),2.4.3卷积积分的性质 1.卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。 1)交换律,(256),式(256)说明两信号的卷积积分与次序无关。即系 统输入信号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其 零状态响应不变。,图2.20 系统级联满足交换律,2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h

35、(t) (2-57) 式(257)的实际意义如图2.21所示，表明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。,图2.21 卷积分配律示意图,3)结合律 设有u(t)，v(t)，w(t)三函数，则有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) (258) 由于,此时积分变量为，,此时积分变量为，而从上式来看，对变量而言，无异于一常数。可引入新积分变量x=+，则有=x-,d=dx。将这些关系代入上式右边括号内，则有,交换积分次序，并根据卷积定义，即可得,4)卷积的微分特性设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t

36、) 则 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) (259),证明,5) 卷积的积分特性设 y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (260) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分。,6) 卷积的等效特性 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) (261) 证明根据式(259)卷积微分特性，有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)

37、将上式对时间t积分，即可证明式 (261)。,式(261)说明，通过激励信号f(t)的导数与冲激响应h(t)的积分的卷积，或激励信号f(t)的积分与冲激响应h(t)的导数的卷积，同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。 上述性质4)、5)、6)可以进一步推广，其一般形式如下： 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (262),7) 卷积的延时特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 则有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2) (263),2

38、. 奇异信号的卷积特性 含奇异信号的卷积积分具有以下特性。 1)延时特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0) (264),图2.22 理想延时器及其冲激响应,同理，如果一个系统的冲激响应h(t)为(t)，则此系统称为理想放大器，其中k称为放大器的增益或放大系数，如图2.23所示。当信号f(t)通过该放大器时，其输出为 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即输出是输入信号f(t)的k倍。,图2.23 理想放大器及其冲激响应,2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) (265) 即，任意信号f(t)与冲激偶信号(t)卷积，其结果为信号f(t)的一阶导数。 如果一个系统的冲激响应为冲

39、激偶信号(t)，则此系统称为微分器，如图2.24所示。,图2.24 微分器及其冲激响应,3) 积分特性 即，任意信号f(t)与阶跃信号u(t)卷积，其结果为信号f(t)本身对时间的积分。如果一个系统的冲激响应为阶跃信号u(t)，则此系统称为积分器，如图2.25所示。,(266),图2.25 积分器及其冲激响应,例223设系统的冲激响应为h(t)=(t+T)+(t-T)，如图2.26(a)所示。输入信号为f(t)，如图2.26(b)所示，试求系统在信号f(t)激励下的零状态响应。 解 ff(t)=f(t)*h(t) =f(t)*(t+T)+(t-T) =f(t+T)+f(t-T) 也就是说，只需

40、在每个冲激信号出现的位置处重画信号f(t)即可，卷积结果(即系统的零状态响应)如图2.26(c)所示。,图2.26 例223信号波形,例225已知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)，试求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。 解 根据卷积运算的分配律，有 ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2) =f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) 亦可利用卷积的等效特性来计算，即 yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2) =f(-1)(t)*(

41、t)-(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) ,可见两种方法计算结果一样。进一步求解可得卷积的最后结果为,例226 已知某线性非时变(LTI)系统如图2.27所示。已知图中h1(t)=u(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。 解 当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。 从图2.27可见，子系统h1(t)与h2(t)是级联关系，而h3(t)支路与h1(t)及h2(t)组成的支路是并联关系，因此,h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t

42、)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2),图2.27 例226系统框图,2.4.4 卷积积分的计算 1.解析计算 参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行计算。 例227 已知f1(t)=e-3t u(t)， f2(t)=e-5t u(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解 根据卷积积分的定义，可得,例228已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与 f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解 根据卷积积分的定义，可得,在例

43、227中，f1(t)的起点为0，f2(t)的起点为0，故f1(t)*f2(t)的起点也为零；在例228中，f1(t)的起点为1，f2(t)的起点为2，故f1(t)*f2(t)的起点为1+2=3。例229可以验证终点之间的关系，它们的关系如图2.28所示。,图2.28 例229图,在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时，对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到，避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如表22所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时，可以利用卷积的一些特性来简化运算。,表22 卷积积分常用公式表,2. 图解计算 对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以

44、利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。,例230已知 分别如图2.29(a)，(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。,图2.29 例230图,综合各段结果，有,例231已知信号f(t)与h(t)的波形如图2.30(a)、(b)所示，试计算其卷积y(t)=f(t)*h(t)。 解首先将h()沿纵轴反转位移为h(t-)，如图2.30(c)所示。然后观察随着参数t的变化，f()与h(t-)乘积随之而变化，从而将t分成不同的区间，分别计算其卷积积分的结果.,图2.30 两个不等宽矩形脉冲的卷积

45、,例232已知两信号f(t)与h(t)的波形如图2.31(a)、(b)所示，试计算其卷积y(t)=f(t)*h(t)。 解 由于y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)，因此没有必要非得反转h(t)不可。一般情况下，应该反转两个函数中较简单的一个。在本题中，f(t)较简单，故反转f()为f(t-)(t0)，如图2.31(c)所示。根据t的不同区间，分别计算其卷积积分.,图2.31 例232信号卷积示意图,例233 已知两信号f(t)与h(t)的波形如图2.32(a)、(b)所示，试计算其卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。 解 由于f()的波形较h()简单，故反转并延迟f()为f(t-)(t0)，如图2.32(c)所示。根据t的不同区间，分段计算其卷积积分. ,图2.32 例233信号卷积示意图,3.数值近似计算 卷积积分实际上是一个定积分，是计算f()h(t-)的面积，如果两卷积信号的函数形式复杂，我们在具体计算时又会遇到数学上的困难。有时激励信号不能用基本函数来表示，可能只是一条曲线或者一组测试数据。因此有必要在时域中进行近似的数值计算。