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1、第八章 空间问题,第八章 空间问题,8-1 概 述 8-2 直角坐标下的基本方程 8-3 空间轴对称问题 8-4 空间球对称问题,目 录,本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到，我们着重讨论空间轴对称球对称问题。,轴对称问题,球对称问题,8-1 概 述,已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关； 15个未知函数6个应力分量： 6个应变分量: ，三个位移分量： u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数； 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。,分析空
2、间问题时，仍然要从三个方面来考虑：静力学方面，几何学方面和物理学方面。,8-1 概 述,8-2 直角坐标下的基本方程,一 平衡微分方程,二 几何方程,三 物理方程,在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力作用，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。,根据轴对称的特点，应采用圆柱坐标 表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是 和 的函数，而与 坐标无关。,轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。,8-3 空间轴对称问题,平衡微分方程,由于轴对称，在微元体的
3、两个圆柱面上，只有正应力和轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，图示。注意：此时环向正应力的增量为零。 由径向和轴向平衡，并利用,8-3 空间轴对称问题,将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，得平衡方程,略去高阶微量，并整理后得,8-3 空间轴对称问题,同理，将六面体所受的各力投影到z轴上，并化简，得到,轴对称问题的柱坐标平衡微分方程,径向位移引起的形变分量为,轴向位移引起的形变分量为,由叠加原理，即得空间轴对称问题的几何方程,8-3 空间轴对称问题,几何方程,物理方程,由于圆柱坐标是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：
4、,形变分量表示,将前三式相加得到,体应变,第一应力不变量,8-3 空间轴对称问题,位移求解问题: 取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。在空间问题中即要求从15个基本方程中消去应力分量和形变分量，得出只包含3个位移分量的微分方程。,8-3 空间轴对称问题,对于轴对称问题相应的微分方程为,其中：,这就是按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。由于轴对称问题中的边界面多为坐标面，位移和应力边界条件都比较简单。,半空间体受重力及均布压力,设有半空间体，密度为 ，在水平边界上受均布压力 如图所示，以边界面为xy面，z轴垂直向下。这样，体力分
5、量就是,假设 这样就得到,（a）,例题,可见基本微分方程中的前两式自然满足，而第三式成为,积分,(b),(c),半空间体受重力及均布压力,例题,(d),其中A、B为待定常数,将以上结果代入物理方程得,在边界面 上,有,(e),半空间体受重力及均布压力,下面根据边界条件来决定常数,所以应力边界条件中的前两式自动满足，而第三式要求,例题,由（d）,为了确定常数B，必须利用位移边界条件。假定半空间体在距边界为h处没有位移，则由位移边界条件,代入,(f),(g),(h),代入,半空间体受重力及均布压力,例题,最大的位移发生在边界上,和,是铅直截面上的水平正应力，,是水平截面上的铅直正应力，,它们的比值
6、是,土力学中称之为侧应力系数。,半空间体受重力及均布压力,应力分量和位移分量都已经完全确定，并且所有一切条件都满足。从而得到的结果是正确解答。,例题,半空间体在边界上受法向集中力,设有半空间体，体力不计，在水平边界上受有法向集中力F，轴对称空间问题，对称轴为力F的作用线。,采用位移解法,(a),简化形式,例题,在Z=0的边界上,应用圣维南原理，取出一个z=0至z=z的平板隔离体，考虑其平衡条件,由于轴对称，其余平衡条件自动满足。,(b),(c),其中,半空间体在边界上受法向集中力,例题,布希内斯克解答如下：,水平边界上任一点的沉陷是,它和距集中力作用点的距离成反比。,半空间体在边界上受法向集中
7、力,例题,这里解出的问题，其应力分布具有如下特征： (1) 当R时，各应力分量都趋于零；当R0时，各应力分量都趋于无限大。这就是说，在离开集中力作用点非常远处，应力非常小；在靠近集中力作用点处，应力非常大。 (2) 水平截面上的应力与弹性常数无关，因而在任何材料的弹性体中都是同样的分布。其他截面上的应力，一般都随泊松比而变化。 (3) 水平截面上的全应力，都指向集中力的作用点，因为由应力表达式中的后二式有：,半空间体在边界上受法向集中力,例题,现在来求出矩形的对称轴上距矩形中心为x的一点K的沉陷ki。为此，将这均布单位力分为微分力,由上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答，就可以用叠加法求出
8、用法向分布力引起的位移和应力。,例如，设有单位力均匀分布在半空间体边界的矩形 面积上，矩形面积的边长为a和b,如上图所示。,例题,代入半空间体的沉陷公式，对和y进行积分。,设k点在矩形之外，则沉陷为：,（d）,例题,当x/a值为整数时(包括x/a为零时)，对于比值b/a的几个常数值，可以从表中查得公式(d)中的 的数值。如果x/a大于10，不论b/a的值如何，都可以取 。.,设k点恰在矩形的中心I，则沉陷为,积分的结果仍然可以写成式(d)的形式，但,8-9 半空间体在边界上受法向集中力,在用连杆法计算基础梁的空间问题时，要用到沉陷公式和下表,8-9 半空间体在边界上受法向集中力,在空间问题中，
9、如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。,根据球对称的特点，应采用球坐标 表示。若以弹性体的对称点为坐标原点 ，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。,8-4 空间球对称问题,显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。,平衡微分方程,取微元体。用相距 的两个圆球面和两两互成 角的两对径向平面，从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。,由于对称性，微元体只有径向体积力
10、。由径向平衡，并考虑到 再略去高阶微量，即得球对称问题的平衡微分方程：,8-4 空间球对称问题,几何方程,由于对称，只可能发生径向位移 ；又由于对称，只可能发生径向正应变 及切向正应变 ，不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为：,物理方程,应力用 应变表示,8-4 空间球对称问题,位移法求解的基本微分方程,将几何方程代入物理方程，得弹性方程,再代入平衡微分方程，得,这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方程。,8-4 空间球对称问题,举例空心圆球受均布压力,设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移场。,其解为,得应力分量,解：
11、 由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为,（a）,（b）,（c）,8-4 空间球对称问题,由上式解得,（d）,将式（b）代入边界条件，即 ， 得,8-4 空间球对称问题,于是得问题的径向位移为,将式（d）代入式（b）及式（c）整理后得：,（e）,（f）,8-4 空间球对称问题,如果空心圆球只受有内压力q，则径向位移的表达式（e）简化为,应力分量表 达式简化为,8-4 空间球对称问题,如果有一弹性体，它具有半径为a的圆球形小孔洞，在孔洞内受有流体压力q的作用。为了得到孔洞附近的位移和应力，只须在上列各式中，命b趋于无限大。这样就得到,由此可见，径向位移 按照 的增大而消减，径向及切向正应力均按 的增大而消减。特别值得注意的是，孔边将发生 的切向拉应力，它可能引起脆性材料的开裂。,8-4 空间球对称问题,除了上面的问题，还有一些空间问题的解。由于非常困难、复杂，且时间有限，故不再介绍。,结束,