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1、第八章 直线与圆的方程,第四课时 两条直线的交点、距离,知识梳理,一、两直线相交 直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组 的解一一对应 相交_； 平行_. 重合_.,答案：方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解 方程组无解 方程组有无穷多个解,二、两点间的距离公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2) 则|AB|_.,答案：,三、点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离 d_. 两平行线l1：AxByC10和l2：AxByC20之间的距离：d_.,答案：,基础自测,1点(1，1)到直线xy10的距离是( ) A. B. C. D.,D,2点(0,5
2、)到直线y2x的距离为( ) A. B. C. D.,解析：d . 答案：B,3直线l1：5x2y60和l2：3x5y160的交点P的坐标是_,答案：(2，2),4一条直线被两直线l1：4xy60，l2：3x5y60截得的线段的中点恰好为坐标原点，则这条直线的方程是_,解析：解法一：由题意可设所求直线方程为ykx，分别与l1、l2的方程联立得两交点的横坐标分别为 与 ，令 0得k .从而所求直线方程为x6y0. 解法二：设所求直线与l1、l2的交点分别为A、B.设A(x0，y0)， A、B关于原点对称，B(x0，y0)，又A、B分别在直线l1、l2上，4x0y060且3x05y060，两式相加
3、得x06y00.即点A在直线x6y0上，又直线x6y0过原点，故所求的直线方程为x6y0. 答案：x6y0,已知点P(2,3)到直线l：3xmy40的距离为2，求实数m的值 思路分析：运用点到直线的距离公式即可求得,解析：由点到直线的距离公式得， 2， 化简得5m212m320，解得m4或m .,变式探究,1已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，求一点P使|PA|PB|，且点P到l的距离等于2.,解析：为使|PA|PB|，点P必定在线段AB的垂直平分线上，又点P到直线l的距离为2，所以点P又在距离l为2的平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得点P.设点P的坐标为P(a，b)，
4、A(4，3)、B(2，1)， AB中点M的坐标为(3，2)，而AB的斜率kAB 1， AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50. 而点P(a，b)在直线xy50上，故ab50 ,又已知点P到l的距离为2 得 2 解、组成的方程组得 或 ， P(1，4)和P 为所求的点,已知点P(2，1)，求： (1)过P点与原点距离为2的直线l的方程； (2)过P点与原点距离最大的直线m的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 思路分析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考虑斜率不存在的直线是否满足题意若满足
5、，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决,解析：(1)过P点的直线l与原点的距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件，其方程为：x2. 若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10. 由已知，得 2，解得k ， 这时l的方程为3x4y100. 综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100. (2)P点在直线m上，原点到直线m的距离d ，过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由mOP，得kmkOP1.,km 2，得直线m的方程为 2xy50，即直线2xy50是过P点且与原点O距
6、离最大的直线，最大距离为 . (3)解法一：由(2)知，过P点的直线与原点O的最大距离为 ，故过P点不存在到原点距离为6的直线 解法二：由于斜率不存在时过P点的直线到原点距离不是6，因此，设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在 且方程为y1k(x2)，即kxy2k10.原点O到它的距 离 d = 6，即32k24k350.因16432350，故方程无解所以不存在这样的直线,点评：(1)求直线方程时一定要注意斜率不存在的情况 (2)第(3)问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由,变式探究
7、,2两条平行直线分别过点P(2，2)、Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着P、Q旋转并且保持互相平行 (1)求d的变化范围； (2)当d取最大值时，求两条直线的方程,解析：(1)解法一：设过点P(2，2)的直线l1的方程为： AxByC10，过点Q(1,3)的直线l2的方程为AxByC20，由于点P、Q分别在直线上l1、l2，得2A2BC10，A3BC20，两式相减得C1C23A5B，两直线间的距离为 d ， 即：(d29)A230AB(d225)B20. 当B0时，两直线斜率存在，有 (d29) 230 d2250. 由d0及0得：(30)24(d29)(d225)0，
8、从而0d .,当B0时，两直线分别为x2，与x1，它们间的距离为3，满足上述结论综上所述，d的取值范围是(0， 解法二：两平行直线在旋转过程中，0dPQ，而PQ ，故d的取值范围是(0， (2)当d 时，k ，对应两条直线分别为l1：3x5y160，l2：3x5y180.,过点P(0,1)作直线l，使它被两条已知直线l1：2xy80和l2：x3y100所截得的线段被点P平分，求直线l的方程 思路分析：在求直线方程时常用待定系数法：设方程，求待定系数，代入方程 解析： 解法一：设出直线l的点斜式直线方程，分别与l1、l2的方程联立，求交点的坐标，再用中点坐标公式求出待定系数k的值，即可求出l的方
9、程 由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1. 联立 ，解得交点A 联立 ，解得交点B ，,而P(0,1)为AB的中点， 0， 解得k .故所求直线l的方程为：x4y40. 解法二：设直线l与l1的交点A的坐标为(x1，y1)，通过中点坐标公式表示出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A、B两点的坐标代入l1、l2的方程，联立方程组进行求解 设直线l与已知l1、l2的交点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2) P是AB的中点， ，即 .代入l2 的方程，得(x1)3(2y1)100，即x13y140.,联立 ，解得A(4,0) 故所求的直线方程为 ，即x4y40.,变式探究,3已知
10、两直线2xmy40和2mx3y60的交点在第二象限，求实数m的取值范围,解析：由 解得两直线的交点坐标为 ，由交点在第二象限知其横坐标为负，纵坐标为正， m2.,1点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容 2在运用公式d 求平行直线间的距离时，一定要把x、y前面的系数化成相等的 3直线系(属知识拓展) (1)共点直线系方程： 过两直线 的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数，A2xB2yC20不包括在内),(2)平行、垂直直线系： AxBym0(m为参数)表示与AxByC0 平行的直线系 BxAyn0(n为参数)表示与AxByC0垂直的直线系,1(2010年上海卷)圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.,解析： 圆C的圆心坐标是(1,2)，因此圆心(1,2)到直线3x4y40距离为 3. 答案：3,2(2008全国卷)原点到直线x2y50的距离为( ) A1 B. C2 D,解析：d 答案：D,祝,您,学业有成,