第一章一些典型方程和定解条件的推导.doc

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1、第一章 一些典型方程和定解条件的推导1.1 基本方程的建立例 1 弦的振动1、问题的提法给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。2、方程的推导基本假设：（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度是常数。（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一

2、致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。 由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知作用在物体上的力=该物体的质量该物体的加速度于是，在每一个时间段内作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。图 1.1 弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)

3、，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力T1和T2。 弦的每小段都没有纵向（即x方向)的运动，所以作用于B的纵向合力应为零， （1.1）按照弦作微小振动的假设，可知振动过程总弦上x点与x+dx处切线的倾角都很小，即10，20，从而由可知

4、，当我们略去1与2所有高于一次方的各项时，就有带入（1.1）式，便可近似得到。 在u方向弧段B受力的总和为T2sin2- T1sin1-gds，其中-gds是弧段B的重力。又因当10，20时且小弧段B在时刻t沿u方向运动的加速度近似为，小弧段的质量为gds，所以根据Fma写出B的横向运动方程或（1.2）上式左边括号内的部分是由于x产生dx的变化而引起的的改变量，可用微分近似代替，即于是或一般说来，张力较大时振动速度变化很快，即要比g大很多，所以又可以把g略去（或跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u(x,t)关于x，t都是二

5、次连续可微的前提下，最后得出u(x,t)应近似满足方程 （1.3）其中。（1.3）式称为一维波动方程。如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，显然，在这时（1.1）及（1.2）分别为利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为 （1.3）其中，表示时刻t单位质量得弦在x点处所受的外力密度。 方程（1.3）与（1.3）得差别在于（1.3）的右端多了一个与未知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。包括非零自由项得方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。（1.3）称为齐次一维波动方程，（1.3）

6、称为非其次一维波动方程。例 2 传输线方程1、问题的提法对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能量显著地辐射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。2、方程的推导今来考虑一来一往高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图1.2）我们来研究这种导体内电流流动的规律。在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i与电压v来描述，此处i与v都是x，t的函数，记作i（x，t）与v（x，t）。以R，L，C，G分别表示下列参数：R每一回路单位的串联电阻；L每一回路单

7、位的串联电感；C每单位长度的分路电容；G每单位长度的分路电导。根据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即由此得 （1.4） 另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即或 （1.5）将方程（1.4）与（1.5）合并，即得i，v应满足如下方程组从这个方程组消去v（或i），即可得到i（或v）所满足得方程。例如，为了消去v，我们将方程（1.5）对x微分（假定v与i对x，t都是二次连续可微得），同时在方程（1.4）两端乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得将（1.4）中的代入上式，得 （1.6）这就是电流i满足得微分方程。采用类似得方法从（1.4）

8、与（1.5）中消去i可得电压v满足得方程 （1.7）方程（1.6）或（1.7）称为传输线方程（电报方程）。 根据不同的具体情况，对参数R，L，C，G作不同得假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。也就是说可令G=R=0,此时方程（1.6）与（1.7）可简化为 这两个方程称为高频传输线方程。 若令，这两个方程与（1.3）完全相同。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。例 3 电磁场方程 从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强

9、度E与磁场强度H以及电感应强度D与磁感应强度B来描述。联系这些量的Maxwell方程为 （1.8） （1.9） （1.10） （1.11）其中J为传导电流的面密度，为电荷的体密度。 这组方程还必须与下述场的物质方程 （1.12） （1.13） （1.14）相联立。其中是介质的介电常数，是导磁率，为导电率，我们假定介质是均匀而且各向同性的，此时、均为常数。方程（1.8）与（1.9）都同时包含有E与H，从中消去一个变量，就可以得到关于另一个变量的微分方程。例如先消去H，在（1.8）式两端求旋度（假定E、H都是二次连续可微的）并利用（1.12）与（1.14）得将（1.9）与（1.13）代入上式得而，

10、且，所以最后得到H所满足得方程为同理，若消去H即得E所满足得方程如果介质不导电（0），则上面两个方程简化为 （1.15） （1.16）（1.15）与（1.16）称为三维波动方程。 若将三维波动方程以标量得形式表示出来，则可写成 （1.17）其中，u是E（或H）得任意一个分量。从方程（1.11）与（1.12）还可以推导处静电场得电位所满足得微分方程。事实上，以（1.12）代入（1.11）得，而电场强度E与电位u之间存在关系，所以可得或 （1.18）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程。如果静电场是无源得，即0，则（1.18）变成 （1.19）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程。例

11、4 热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置变化，所以解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布，现在我们来推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。与例1类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该考虑一个区域的温度。为此，在物体内任取一闭曲面S，它所包围的区域记作V（图1.3）。假定在时刻t区域V内点M（x，y，z）处的温度为u（x，y，z，t），n为曲面元素S的法向（从V内指向V外）。由传热学中Fouier实验定律可知，物体在无穷小时间段dt内

12、，流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS，以及物体温度u沿曲面dS的法线方向的方向导数三者成正比，即其中kk（x，y，z）称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。上式中的负号是由于热量的流向和温度的梯度的正向，即gradu的方向相反而产生。这就是说，当时，物体的温度沿n的方向增加（减少），而热流方向却与此相反，故沿n的方向通过曲面的热量应该时负（正）的。利用上面的关系，从时刻t1到时刻t2通过曲面S流入区域V的全部热量为流入的热量使V内各点的温度从u（x，y，z，t1）变化到u（x，y，z，t2），则在t1, t2内V内温度升高所需的热量为其中c为物

13、体的比热，为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。 由于热量守恒，流入的热量等于物体温度升高所需吸收的热量，即 （1.20）此式左端的曲面积分中S是闭曲面，假设函数u关于x，y，z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，可以利用高斯（Guass）公式将它化为三重积分，即同时，（1.20）的右端的体积分可以写成因此，有 （1.20）由于时间间隔t1, t2及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以（1.20）式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即 （1.21）其中，。方程（1.21）称为三维热传导方程。若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则相应的热传导方程

14、为，其中。作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板）而其中的温度u只与x，t（或x，y，t）有关，则方程（1.21）就变成一维热传导方程或二维热传导方程 如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态，这时温度u已与时间t无关，所以，此时方程（1.21）就变成拉普拉斯方程（1.19）。由此可见，稳恒温度场内的温度u也满足拉普拉斯方程。 在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得得扩散方程与热传导方程完全相同。1.2 初始条件与边界条件上面所讨论的是如何将一个具体问题所有的物理规律用数学关系式表达出来。除此之外，我们还需要把这个

15、问题所具有的特定条件也用数学形式表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件之下的。例如弦的振动问题，上节所推导出来的方程是一切柔软均匀得弦作微小横振动的共同规律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻的状态以及弦所受的约束情况。如果我们不是泛泛地研究弦的振动，势必就要考虑到弦所具有的特定条件。因为任何一个振动物体在某时刻的振动状态总是和此时刻以前的状态有关，从而就与初始时刻的状态有关。另外，弦的两端所受的约束也会影响弦的振动，端点所处的处理条件不同就会产生不同的影响，因而弦的振动也不同。所以对弦振动问题来说，除了建立振动方程以外，还需列出它所处的特定条件。对热传导方程、拉普拉斯方

16、程也是如此。提出的条件应该能够用来说明某一具体物理现象的初始状态或者边界上的约束情况。用以说明初始状态的条件称为初始条件；用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件。下面具体说明初始条件和边界条件的表达形式。先谈初始条件，对于弦振动问题来说，初始条件就是弦在开始时刻的位移以及速度，若以(x)，(x)分别表示初始位移和初速度，则初始条件可以表达为 （1.22）而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时刻物体温度的分布情况，若以(M)表示t0时物体内任一点M处的温度，则热传导方程的初始条件就是 （1.23）泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，所以不提初始条件。再谈边界条件。还是

17、先从弦振动问题说起，从物理学得知，弦在振动时，其端点（以xa表示这个端点）所受的约束情况，通常有以下三种类型：第一：固定端，即弦在振动过程中这个端点始终保持不动，对应于这种状态的边界条件为 （1.24）第二：自由端，即弦在这个端点不受位移方向的外力，从而在这个端点弦在位移方向的张力应该为零。由1.1中例1的推导过程可知，此时所对应的边界条件为即 （1.25）或 。第三：弹性支撑端，即弦在这个端点被某个弹性体所支撑。设弹性支撑原来的位置为u0，则就表示弹性支撑的应变，由Hook定律可知，这时弦在xa处沿位移方向的张力应该等于，即或 （1.26）其中k为弹性体的倔强系数，。对于热传导方程来说，也有

18、类似的情况。以S表示某物体V的边界，如果在导热过程中边界S的温度为已知的函数f(x,y,z,t)，则这时的边界条件为 （1.27）这里f是定义在S上（一般依赖于t）的函数。如果在导热过程中，物体V与周围的介质处于绝热状态，或者说，在S上的热量流速始终为零，这时从例4的推导过程可知，在边界S上必满足 （1.28）如果物体的内部和周围介质通过边界S有热量交换，以u1表示和物体接触处的介质温度，这时利用另一个热传导实验定律：从一个介质流入另一个介质的热量和两个介质间的温度差成正比其中k1是两介质间的热交换系数。在物体内部任取一个无限贴近于边界S的闭曲面，由于在S内侧热量不能积累，所以在上的热量流速应

19、等于边界S上的热量流速，而在上的热量流速为，所以，当物体和外界有热交换时，相应的边界条件为即 （1.29）其中。 综合上述可知，不论对振动问题，还是对热传导问题，它们所对应的边界条件，从数学角度看不外有三种类型：一是边界S上直接给出了未知函数u的数值，即 （1.30）这种形式的边界条件称为第一类边界条件。二是在边界S上给出了未知函数u沿S的外法线方向的方向导数，即 （1.31）这种形式的边界条件称为第二类边界条件。三是在边界S上给出了未知函数u及沿S的外法线方向的方向导数某种线性组合的值，即 （1.31）这种形式的边界条件称为第三类边界条件。需要注意的是（1.301.32）右端的fi都是定义在

20、边界S上（一般说来，也依赖于t）的已知函数。不论哪一类型的边界条件，当它的数学表达式中的自由项（即不依赖于u的项）恒为零时，则这种边界条件称为是齐次的，否则称为非齐次的。1.3 定解问题的提法前面两节我们推导了三种不同类型的偏微分方程并讨论了于它们相应的初始条件与边界条件的表达式。由于这些方程中出现的未知函数的偏导数最高阶都是二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这种方程称为二阶线性偏微分方程。在国内工程技术上二阶线性偏微分方程遇到最多。如果一个未知函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）。由于每一个

21、物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出偏微分方程的适合某些特定条件的解。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。一个定解问题提的是否符合实际情况，当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验：1）解的存在性，即看所归纳出来的定解问题是否有解；2）解的惟一性，即看是否只有一个解；3）解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，如果确实如此，此解便称为稳定的。否则所得的解就无使用价值，因为定解条件通常总是利用实验方法获得的，因而所得到得结果，总有一定的误差，如果因此而解的变动很大，那么这种解显然不能符合客观实际的要求

22、。如果一个定解问题存在惟一且稳定的解，则此问题称为适定的。我们的着眼点放在定解问题的提法上，而很少讨论它的适定性，这是因为讨论定解问题得适定性往往十分困难，而本书所讨论得定解问题都是经典的，它们的适定性都是经过证明了的。由前面的定义可知，一个含n个自变量的二阶线性偏微分方程的最一般的形式应该是 （1.33）其中Aik，Bi，C，f，都只是x1,x2,xn的已知函数，与未知函数无关。在两个自变量的情形，（1.33）可写为 （1.34）线性偏微分方程（1.33）具有一个非常重要的特性，称为叠加原理，即若ui是方程的解，而且级数收敛，并且能够逐项微分两次，其中Ci为任意常数，则u一定是方程的解（当然要假定这个方程右端的级数是收敛的）。特别是，如果ui是二阶线性齐次方程的解，则只要收敛，并且可以逐项微分两次，u也是此方程的解。这个结论的证明很容易，但它是下一章分离变量法的出发点。