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1、第二章误差与测量不确定度2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。答：真值是指表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值；示值是指仪器测得的指示值，即测量值；误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，符号相反的量值。2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有：（1）仪器误差（2）方法误差（3）理论误差（4）影响误差（5）人身误差。2.3 误差按性质分为哪几种？各有何特点？答：误差按性质可分为系统误差
2、、随机误差和粗大误差三类。各自的特点为：系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化；随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？答：标准差是指对剩余误差平方后求和平均，然后再开方即；平均值标准差是任意一组n次测量样本标准差的分之一，即；标准差的估计值即。2.4 归纳比较粗大误差的检验方法。答：粗大误差的检验方法主要有莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。莱特检验法：若一系列等精度测量结果中，第 i项测量值x
3、i所对应的残差的绝对值3s（x）则该误差为粗差，所对应的测量值xi为异常值，应剔除不用。本检验方法简单，使用方便，也称3s准则。当测量次数n较大时，是比较好的方法。本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好n200，若n10则容易产生误判。肖维纳检验法：假设多次重复测量所得n个测量值中，当时，则认为是粗差。本检验方法是建立在频率趋近于概率的前提下，一般也要在n10时使用。一般在工程中应用，判则不严，且不对应确定的概率。格拉布斯检验法：对一系列重复测量中的最大或最小数据，用格氏检验法检验，若残差Gs。本检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好。2.5 绝对误差和相对误差的传递公式有何用去？答：绝
4、对误差传递公式：在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为和差关系时，利用绝对误差传递公式更方便求解总系统误差的绝对误差；相对误差传递公式：在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为乘、除，开方以及平方关系时，利用相对误差传递公式更方便求解总系统误差的相对误差。2.6测量误差和不确定度有何不同？答：测量误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差，它以真值或约定真值为中心，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；不确定度是指与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度，即一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分，而测量
5、不确定度是以被测量的估计值为中心。测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。对比项目 误差不确定度含义反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果的分散程度符号非正即负恒为正值分类随机误差、系统误差、粗大误差A类评定和B类评定表示符号符号较多、且无法规定规定用u、uc、U、Up表示合成方式代数和或均方根均方根主客观性客观存在，不以人的认识程度改变与人们对被测量及测量过程的认识有关与真值的关系有关无关2.7 归纳不确定度的分类和确定方法？答：不确定度分为A类标准不确定度和B类标准不确定度。由一系列观测数据的统计分析来评定的分量称为A类标准不确定度；不是用一系列观测数据的统计分析法，
6、而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定的分量称为B类标准不确定度。确定方法：（1）A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即A类标准不确定度就等于标准差，即uA；（2）B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。2.8 归纳测量数据处理的方法。答：测量数据处理的方法主要有效数字、算术平均值加不确定度、表格或曲线等。有效数字是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的所有各位数字。数据修约规则：四舍五入，等于五取偶数。最末一位有效数字（存疑数）应与测量精度是同一量级的。测量数
7、据可绘制成曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。2.9用图2.23中（a）、（b）两种电路测电阻Rx，若电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。IVIVRxRx（a）（b） 图2.23 题2.9图解：(a) R= = 在Rv一定时被测电阻RX 越小，其相对误差越小,故当RX相对Rv很小时,选此方法测量。 (b) VRIR2R1 5K20KABE12V 在RI一定时，被测电阻RX 越大.其相对误差越小,故当RX相对RI很大时,选此方法测量。2.10 用一内阻为RI的万用表测量图示电路A、B两点间电压，设E12V，R15k ，R
8、220k，求：（1）如E、R1、R2都是标准的，不接万用表时A、B两点间的电压实际值UA为多大?（2）如果万用表内阻RI20k，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？（3）如果万用表内阻RIlM，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？解：（1）A、B两点间的电压实际值（2）UA测量值为： 所以UA的示值相对误差UA的实际相对误差为（3）UA测量值为： 所以UA的示值相对误差UA的实际相对误差为由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。2.11 CD13型万用电桥测电感的部分技术指标如下： 5H 1.1mH挡：2(读数值)5H； 10mH110mH挡：2(读数值)0.4(满
9、度值)。试求被测电感示值分别为10H，800H，20mH，100mH时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。解：根据误差公式计算各电感误差如下：（1）10H （2）800H （3）20mH （4）100mH 由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一个临界值：5H 1.1mH档：临界值L1，即当被测电感L小于250H时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。即当被测电感L大于250H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大
10、。10mH110mH档：临界值L2，即当被测电感L小于27.5mH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。即当被测电感L大于27.5m H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。2.12 设两个电阻Rl(1500.6)，R2620.4%，试求此两电阻分别在串联和并联时的总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响?解：（1）串联时，总电阻值 （2）并联时，总电阻值 因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式较方便，得 由以上计算结果可知，串联时大电阻R1对总电阻误差影响大，并联时小电阻R2对总电阻误差影响大。2.13 检定一只2.5 级电流表3mA量
11、程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选用哪只最适合，为什么？（1）0.5 级10mA量程；（2）0.2 级10mA量程；（3）0.2 级15mA量程；（4）0.1 级100mA量程。解：2.5 级电流表3mA量程的绝对误差为2.53mA0.075mA（1）0.5 级10mA量程的绝对误差为0.510mA0.05mA（2）0.2 级10mA量程的绝对误差为0.210mA0.02mA（3）0.2 级15mA量程的绝对误差为0.215mA0.03mA（4）0.1 级100mA量程的绝对误差为0.1100mA0.1mA由以上结果可知（1），（2），（3）都可以用来作为标准表，而（4）的绝对误差
12、太大，其中（1），（2）量程相同，而（3）的量程比（1），（2）大，在绝对误差满足要求的情况下，应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是0.2 级10mA量程的。2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为90W，其允许误差为30，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为75W。问此信号源是否合格?解：信号源频率的测量绝对误差为75W90W15W 相对误差为，所以此信号源合格。2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下： 次 数12345678910电压/V5.0035.0115.0064.998
13、5.0154.9965.0095.0104.9995.007求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值。解：Ux的算术平均值次数12345678910电压/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007残差(103V)-2.45.60.6-7.49.6-9.43.64.6-6.41.6标准偏差估值 2.16 对某恒流源的输出电流进行了8次测量，数据如下：次数12345678I/mA10.08210.07910.08510.08410.07810.09110.07610.082求恒流源的输出电流的算术平均值，标准偏差估值及平均值标准偏差估值
14、。解：恒流源的输出电流的算术平均值次数12345678I/mA10.08210.07910.08510.08410.07810.09110.07610.082残差（103mA）-0.1-3.12.91.9-4.18.9-6.1-0.1标准偏差估值平均值标准偏差估值2.17 两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为kHz。方法1 100.36 100.41100.28100.30100.32100.31100.37100.29方法2 100.33100.35100.28100.29100.30100.29（1）若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一
15、个估计值更可靠？（2）用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值（即加权平均值）为多少？解：（1）方法1：kHz次数12345678f/kHz100.36 100.41100.28100.30100.32100.31100.37100.29残差（102kHz）38-5-3-1-24-4标准偏差估值kHz同理可求出方法2的标准偏差估值，kHz次数123456f/kHz100.33100.35100.28100.29100.30100.29残差（102kHz）2.34.3-2.7-1.71.3-1.7标准偏差估值kHz由此可见方法2测得的数据更为可靠。（2）由得kHz该频率的估计值为100.31k
16、Hz。2.18 设对某参数进行测量，测量数据为1464.3，1461.7，1462.9，1463.4，1464.6，1462.7，试求置信概率为95%的情况下，该参量的置信区间。解：因为测量次数小于20，所以测量值服从t分布，第一步：求算术平均值及标准偏差估值次数123456x1464.31461.71462.91463.41464.61462.7残差1.0-1.6-0.40.11.3-0.6标准偏差估值算术平均值标准偏差估值第二步：查附录B：t分布表，由n1=5及P=0.95，查得t=2.571第三步： 估计该参量的置信区间，其中 则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为1462.3，14
17、64.3。2.19具有均匀分布的测量数据，当置信概率为100时若它的置信区间为E(X)k(X)，E(X)k(X)，问这里k应取多大？解：依题意得 由均匀分布可得， ，代入，解得2.20 对某电阻进行了10次测量，测得数据如下：次数12345678910R/k46.9846.9746.9646.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差，在要求置信概率为99%的情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内？解：先求得被测电阻的平均值 k次数12345678910R/k46.9846.9746.9646
18、.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91残差103 k47372727-12312-137-3-23标准偏差估值K按格拉布斯检验法，在置信概率为99%的情况下，n10查表得G2.41，剔除R8后重新计算判别，得n9，Pc99%时，G2.32k K可见余下数据中无异常值。2.21 对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量，结果为110.050，110.090，110.090，110.070，110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030（kHz），试用马利科夫及阿卑-赫梅特判剧判别是否存在变值系差。解：输出频率fx的
19、平均值 次数12345678910fx/kHz110.050110.090110.090110.070110.060110.050110.040110.030110.035110.030残差104 kHz-4535535515555-45-145-245-195-245（a）由马利科夫判据得：故存在变值系差（b）由阿卑-赫梅特判据得： 标准偏差估值 故存在变值系差2.22 试举出一种采用微处理器消除系统误差的方法，简单说明消除系统误差的原理。答：采用微处理器消除系统误差的方法有很多，例如直流零位校准，自动校准，相对测量等，下面以自动校准为例，简要说明消除系统误差的原理。自动校准主要是在仪器内部
20、存储校准数据表和内插公式系数表，在正式测量时，微处理器根据测量结果、校准表以及内插系数表进行计算得到修正后的准确测量值。2.23 采用微差法测量一个10V电源，使用标准为标称相对误差为0.1的9V稳压电源。若要求测量误差Uo/Uo0.5，电压表量程为3V，问选用几级电表?解：由题意及微差法误差公式得这里标准量B为9V，微差A为1V，标准相对误差为0.1 可得所以选用3V量程的1级电压表即可。2.24 按公式测量金属导线的电导率，式中L为导线长度(cm)，d为截面直径(cm)，R为被测导线的电阻()。试说明在什么测量条件下误差最小？对哪个参量要求最高？解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递
21、公式较方便。 由上式可知对截面直径d的要求最高。2.25 通过电桥平衡法测量某电阻，由电桥平衡条件得出，已知电容C2的允许误差为5，电容C4的允许误差为2，R3为精密电位器，其允许误差为1，试计算Rx的相对误差为多少？解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。2.26 用一电压表对某一电压精确测量10次，单位为伏特，测得数据如下：次数12345678910U/V30.4730.4930.5l30.6030.5030.4830.4930.4330.5230.45试写出测量结果的完整表达式。解：（1）求出算术平均值 （2）计算列于表中,并验证。次数12345678910U/V30.4
22、730.4930.5l30.6030.5030.4830.4930.4330.5230.45残差103 V-24-4161066-14-4-6426-44（3）计算标准偏差估值: V（4）按莱特准则判断有无，没有异常数据。（5）写出测量结果表达式:V（取置信系数）2.27 设某测量结果有关A类不确定度如下表所示，求该测量结果的合成不确定度、自由度及总不确定度（取置信概率p0.95）。序号不确定度自由度来源符号数值符号数值12345基准读数电压表电阻表温度uA1uA2uA3uA4uA51122123455104161解： 2.28 测量x和y的关系，得到下列一组数据：xi411182635435
23、2606972yi8.817.826.837.048.558.870.380.592.195.9试用最小二乘法对上述实验数据进行最佳曲线拟合。解： （1） （2）代入题中给出相应的测量数据，为计算方便先代入（2）8.8=4b+a 58.8=43b+a17.8=11b+a 70.3=52b+a26.8=18b+a 80.5=60b+a37.0=26b+a 92.1=69b+a48.5=35b+a 95.9=72b+a10个方程相加得：536.5=390b+10a (2)再将（2）式10个方程分别乘以xi即得（1）式的10个方程:35.2=16b+4a 2528.4 =1849 b+43a195.8=121b+11a 3655.6 =2704 b+52a482.4=324b+18a 4830 =3600b+60a962=676b+26a 6354.9 =4761 b+69a1697.5=1225b+35a 6904.8 =5184 b+72a10个方程相加得：27646.6=20460b+390a (1)这里(1) (2)称正规方程，解出这两个方程得: a=3.73 b=1.28 则可作出最佳曲线如图2.22所示。相应直线方程为：y=1.28x+3.7316