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1、第四章,曲线运动 万有引力定律与航天,第1节 曲线运动 运动的合成与分解,例1.互成角度(0,180)的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动 ( ) A 有可能是直线运动 B 一定是曲线运动 C 有可能是匀速运动 D 一定是变加速运动,【点拨】 a合、v合的方向关系运动轨迹a合的变化情况运动性质,【解析】互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变是匀变速运动，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故做曲线运动，只有选项B、D正确. 【答案】BD,1. 一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内( ) A 速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变 B 速
2、度一定不断地改变，加速度可以不变 C 速度可以不变，加速度一定不断地改变 D. 速度可以不变，加速度也可以不变 【解析】质点做曲线运动时，速度一定发生变化，但加速度不一定变化如平抛运动.所以选项A、C、D错误，选项B正确. 【答案】B,例2.(2009聊城模拟)在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5 m/s，冲锋舟在静水中的航速为10 m/s，战士救人的地点离岸边最近点的距离为50 m，问： (1)战士要想在最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长? (2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将船头与江岸成多少角度? (3)如果水的流速是10
3、 m/s，而船的航速(静水中)为5 m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离,【点拨】(1)不论水流速度多大，船身垂直于江岸开动时，渡河时间最短 (2)当v1v2时，合运动方向与船身垂直时，航程最短,【解析】(1)根据运动的独立性可知，当冲锋舟垂直于江岸时，时间最短，设船在静水中的速度为v2,水速为v1,最短的时间为t=d/v2=5 s. (2)当合速度的方向垂直于江岸时，战士到达江岸的过程航程最短，船头必须斜向上，设与江岸的夹角为，如图甲所示， 则cos =v1/v2=0.5，=60. (3)在v1v2的条件下，船只能斜向下游到江岸，此时v2可能的方向如图乙所示，v合与v2垂
4、直时角最大，位移最短， 此时sin =v2/v1=0.5，则=30， 最短距离为x=d/sin 30=100 m.,2. 某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为T1；若此船用最短的位移过河，则过河时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为 ( ),【解析】设船速为v1，水速为v2，河宽为d，则由题意可知：T1=d/v1 当此人用最短位移过河时，即合速度v合方向应垂直于河岸，如图所示， 联立可得： ， 进一步得 ,故选A. 【答案】A,例.如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成角时，求物体A的速度.,【错解】v0可分解为水平分
5、速度和竖直分速度，其水平分速度为物体A的速度，故vA=v0cos . 【剖析】没有分清物体的合速度与分速度,物体的合运动是物体的实际运动.,【正解】本题可采用以下两种方法. 分解法：解答本题的关键是正确地找出物体A的两个分运动.物体A的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度v1=v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值.这样就可以按图示方向进行分解.所以v1及v2实际上就是vA的两个分速度，如图甲所示，由此可得vA=v1/cos =v0/cos .,微元法：物体在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间
6、来求它的平均速度的大小，当这一小段时间趋于零时，该平均速度的大小就为所求速率. 设物体在角位置经t时间向左移动x距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图乙所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC可近似看做一直角三角形，因而有L=xcos ，两边同时除以t得Lt=xtcos .即收绳速率v0=vA/cos ，因此物体的速率为vA=v0/cos .,第2节 平抛运动及其应用,例.(2009福建)(15分)如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离s=100 m，子弹射出的水平速度v=200 m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空
7、气阻力，取重力加速度g为10 m/s2，求： (1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？ (2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？,【点拨】(1)把子弹的平抛运动分解为水平和竖直方向上的直线运动. (2)对比子弹与靶运动的异同得出击中时间由子弹的水平运动决定. 【解析】满分展示： 本题考查平抛运动的知识. (1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经过时间t击中目标靶，则t=s/v 5分 代入数据得t=0.5 s 2分 (2)目标靶做自由落体运动，则h=1/2gt2 5分 代入数据得h=1.25 m 3分,1. 如图所示，在倾角为37的
8、斜面底端的正上方H处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度.,【解析】小球水平位移为x=v0t,竖直位移为y=1/2gt2,由题图可知，tan 37=(H-1/2gt2)/v0t， 又tan 37=v0/gt（分解速度），消去t解之得：v0=0.73(gH)1/2.,例2.如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为.一物块从斜面上方顶点P水平射入，而从右下方的点Q离开斜面，求物块入射的初速度.,【点拨】根据物体的受力与初速度，把此运动分解为水平方向与沿斜面向下两个方向上的直线运动，这是解答此题的关键.,【解析】物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体受到的合
9、力大小为Fmgsin ，方向沿斜面向下. 根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a物=F/m=gsin ，又因为物体的初速度与a垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动. 因此在水平方向上有a=v0t，沿斜面向下的方向上有b1/2a物t2；故v0=at=a(gsin /2b)1/2.,2. 在离地面高为h，离竖直光滑墙的水平距离为s1处，有一小球以v0的速度向墙水平抛出，如图所示.小球与墙碰撞后落地，不计碰撞过程中的能量损失，也不考虑碰撞的时间，则落地点到墙的距离s2为多少？,【解析】小球撞墙的速度v斜向
10、下，其水平分量为v0，如图所示，由于碰撞无能量损失，故碰撞后小球的速度大小不变，v与v关于墙面对称，故v的水平分量仍为v0，故s2等于小球没有撞墙时的水平位移s2，所以s2ss1，s为平抛运动的整个位移，由s=v0t，h=1/2gt2,可得s=v0(2h/g)1/2，则s2=v0(2hg)1/2-s1.,例.如图所示，AB为斜面，倾角为30，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求： (1)AB间的距离. (2)物体在空中飞行的时间. (3)从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大?,【错解】小球在B点的速度方向与水平方向夹角为30，得vy=v0sin 30=gt，可得飞行时间t=v
11、02g.由平抛运动得x=v0t=v20/2g,y=1/2gt2=v20/8g， AB间距离s=(x2+y2)1/2=(v20/2g)2+(v20/8g)21/2=v20/8g(17)1/2. 求(3)中时间方法一：将v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解,如图甲所示.,则当物体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即v0sin 30-gcos 30t=0，所以t=(3)1/2v0/3g. 方法二：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如图乙所示. 则v=v0tan 30=gt,t=v0tan 30/g=(3)1/2v0/3g.,【正解】(1)、(2)中，由小球落在B
12、点时其位移与水平方向夹角为30， 得1/2gt2lABsin 30 v0t=lABcos 30 解得t=2v0tan 30/g2gv0/(3)1/2, lAB=v0/tcos 30=4v20/3g. (3)该问解答正确,见上面解析.,第3节 圆周运动及其应用,例1.如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触.当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力.自行车车轮的半径R1=35 cm，小齿轮的半径R2=4.0 cm，大齿轮的半径R3=10.0 cm.求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比.(假定摩擦小轮与自行
13、车车轮之间无相对滑动),【点拨】(1)大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，即线速度大小相同. (2)小齿轮和车轮同轴转动角速度相同. 【解析】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，即两轮边缘各点的线速度大小相等.由v=2nr可知在v不变时，转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同.由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速关系：2n11035/4=2n21,可得n1n2=2175.,1. 如图所示，A、B是两个圆盘，它们能绕共同的轴以相同的角速度转动，两盘相距为L.有一颗子弹以一定速度垂直盘面射向A盘后又穿过B盘，子弹分别在A、B盘上留下的弹
14、孔所在的半径之间的夹角为.现测得转轴的转速为n r/min，求子弹飞行的速度.(设在子弹穿过A、B两盘过程中，两盘转动均未超过一周),【解析】子弹从A盘穿至B盘，圆盘转过的角度为.由于转轴的转速为n r/min，所以圆盘转动角速度=2n/60 rad/s=n/30 rad/s,子弹在A、B盘间运动的时间等于圆盘转过角所用的时间，故t=/=30/n s,所以子弹的飞行速度为v=L/t=nL/30 m/s.,例2.如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m若A与转盘
15、间的最大静摩擦力为Ff=2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围(取g=10 m/s2).,【点拨】(1)正确分析物体A、B的运动状态. (2)正确分析物体A向心力的来源. (3)正确分析角速度最大、最小时物体A的受力情况. 【解析】要使B静止，A必须相对于转盘静止，即具有与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力提供.角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O 对于B，FT=mg, 对于A，角速度取最大值时有FT+Ff=Mr21, 解得1=6.5 rad/s. 角速度取最小值时有FT-Ff=Mr
16、22, 解得2=2.9 rad/s. 所以2.9 rad/s6.5 rad/s.,2. 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动.当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是 ( ) A. 物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B. 物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C. 物体所受弹力和摩擦力都减小了 D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变,【解析】物体受重力、弹力、摩擦力三个力的作用，其中重力和摩擦力平衡，两者大小相等,弹力指向圆心提供向心力，有FN=m2r,故弹力随角速度的增大而增大.故D正确. 【答案】D,例3.(2009潍坊模拟)游乐场的过山车的运动过程可以抽象为如图所示模型
17、.弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开.试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力).,【点拨】确定临界条件求出最高点的速度根据机械能守恒求出A点最小高度 【解析】由机械能守恒定律得： mgh2mgR1/2mv2 在圆轨道最高处：mgmv20/R vv0 由可得h5R/2.,3. 如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速度使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是( ) A.a处为拉力，b处为拉力
18、B.a处为拉力，b处为推力 C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力,【解析】小球在竖直平面内做圆周运动，在最低点时，小球受力除重力外，还受杆的作用力，只有杆对小球向上拉时，小球才能绕O点做圆周运动，故杆对小球只能是拉力.小球在最高点的速度大小不能确定，由前面分析可知，杆对小球可能是向下的拉力，也可能是向上的推力，故A、B正确. 【答案】AB,例.如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为，一质点(质量不计)在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径
19、为R求圆筒转动的角速度.,【错解】圆筒转过的角度为=+ 对圆筒有=t，对质点有2R=vt， 解得=（+）v/2R 【剖析】对于此类问题，往往涉及多解，故答案不唯一. 【正解】由于圆周运动的周期性，圆筒转过的角度可能为=+2n(n0,1，2)对圆筒有=t对质点有2R=vt 解得：=(2n+1)+ v/2R (n0,1，2) 【答案】 =(2n+1)+ v/2R (n0,1，2),第4节 万有引力与航天,例1.某行星自转周期T0=8 h，若用一弹簧测力计去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比它在两极处小9%.设想该行星自转角速度加快,在赤道上的物体将完全失重.则此行星自转周期多大?(行星看做标准
20、球体) 【点拨】(1)在赤道上万有引力等于重力和向心力之和. (2)在两极万有引力等于重力. （3）在赤道和两极万有引力相等.,【解析】在赤道上称的示数: F=GmM/R2-mR42/T20 在两极上称的示数:F=GmM/R2 且有F(1-9%)=F 加快后周期为T，则：GmM/R2=mR42/T2 由得：T=0.3T0=2.4 h.,1. (2009江苏)英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足M/R=c2/2G(其中c为光速，G为引力常
21、量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为 ( ) A. 108 m/s2 B. 1010 m/s2 C. 1012 m/s2 D. 1014 m/s2,【解析】对黑洞表面的某一质量为m物体，有GMm/R2=mg，又有MR=c2/2G，联立解得g=c2/2R，代入数据得重力加速度的数量级为1012 m/s2，故C正确. 【答案】C,例1.(2009北京)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响. (1)推导第一宇宙速度v1的表达式. (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T. 【点拨】(1)第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度. (2)万有引
22、力提供卫星做圆周运动的向心力. (3)应用黄金代换式.,【解析】（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M,在地球表面附近满足GMm/R2=mg,得GM=R2g 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 即mv21R=GMm/R2 将式代入式得到v1=(Rg)1/2. （2）卫星受到的万有引力为F=GMm/(R+h)2=mgR2/(R+h)2 由牛顿第二定律F=m42(R+h)/ T2 联立解得T=2/R(R+h)3/g1/2.,2. 2007年北京时间11月7日早上8时34分，总重量达2 300 kg的探月卫星“嫦娥一号”成功实施第三次近月制动，进入周期为127分钟圆形越极轨道经过调整后的12
23、7分钟圆形越极轨道将是“嫦娥一号”的最终工作轨道，这条轨道距离月面200 km高度，经过月球的南北极上空由于月球的自转作用，处于越极轨道的“嫦娥一号”可以完成包括月球南北极、月球背面的全月探测工作已知月球半径为1 738 km，引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2由上述资料根据所学的物理知识可以估算出 ( ) A. 月球的质量 B. 月球的密度 C. 月球自转的周期 D. 月球表面的重力加速度,【解析】根据GMm/(R+H)2=m(2T)2（R+H），可得M=1/G(2/T)2(R+H)3，可知A正确；在距月球的表面上时，有m(2/T)2(R+H)=mg，可得g=(2/T)2(R+H
24、)，即是距月球表面200 km处的重力加速度，再由g/g0=GM/(R+H)2/GM/R2可求得地面处的重力加速度g0.可知D正确；由=3（R+H）3/GT2R3，可知B正确. 【答案】ABD,例3.如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q)，到达远地点时再次自动点火加速并进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4.试比较v1、v2、v3、v4的大小，并从大
25、到小将它们排列起来 .,【点拨】GMm/r2=mv2/r比较v1、v4 变轨的知识比较v2和v1、v4和v3 【解析】根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，故有v2v1、v4v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1v4.把以上不等式连接起来，可得到结论：v2v1v4v3.（卫星沿椭圆轨道由P向Q运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2v3） 【答案】v2v1v4v3,3. 据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5
26、月1日成功定点在东经77赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 ( ) A. 运行速度大于7.9 km/s B. 离地面高度一定、相对地面静止 C. 卫星运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等,【解析】由万有引力提供向心力得GMm/r2=mv2/r,v=(GM/r)1/2，即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v=7.9 km/s为第一宇宙速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故A错误；因同步卫星与地球自转同步，即T、相同，因此其相对地面静止，
27、由公式GMm/(R+h)2=m(R+h)2，得h=(GM/2)1/3-R,因G、M、R均为定值，因此h一定为定值，故B正确；因同步卫星周期T同=24小时，因同步卫星周期T同=24小时，月球绕地球转动周期T月=30天，即T同月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向=r2，可得：a同a物=(R+h)/R，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，故D错误. 【答案】BC,例.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球的半径为R,则下列比值正确的是( ) A. a1/a2=R/r B. a1/a2
28、=(R/r)2 C. v1/v2=r/R D. v1/v2=(R/r)1/2,【错解】BD.由GMm/R2=ma=mv2/R得aR-2，故B正确，同理,v=(GM/R)1/2，故D正确.,【剖析】设地球质量为M，同步卫星质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面运行的物体质量为m3，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相同，则a1=r21,a2=R22，1=2. 所以a1a2=r/R，故A选项错误. 依据万有引力定律和向心力表达式可得： 对m1:GMm1/r2=m1v21/r， 所以v1=(GM/r)1/2 对m3:GMm3/R2=m3v22/R，所以v2=(GM/R)1/2 式除以式得：v1/v2=(R/r)1/2,故D选项正确. 【答案】D,