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1、习 题 6-1 求出齐次线性微分方程组 的通解，其中 A（t）分别为：电大考试电大小抄电大复习资料ytAd)( 1 （1） ；（2） ；（3） 。10)(tA01)(t 01)(t （1）方程组的分量形式为： ，21ydt2ydt 从后一式容易求出 的通解为 ，其中 K 为任意常数，可分别取2 tkey2 和 ，代入前一式得到两个相应的特解， 和 这样就02yte2 tey1tey2 求得方程组的一个解矩阵为 又 。因此， 是方程组的一个基解矩阵，()0 tte2det()0t)(t 根据定理 6.1 ,方程的通解为 t tecy2120 （2）方程的分量形式为 12ydt 由、可和 210y
2、t 由观察法知， ， 为此方程的两个特解，将其代入式可得两个cos1tin1 相应的特解，将其代入式可得两个相应的特解： ， 。这样2sinyt2cosyt 就求得方程组的一个解矩阵为 又 ，因cosit()nt01)(det 此 中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为)(t 122cosintitcsy （3）程组的分量形式为： 132y 解 +得 31)(dt 解 -得 31yy 解之得 13132 t tkeke 由、可得 tttt tttt eceky312.13 又由得 tec2 由此可求得方程组的一个解矩阵 ttttte0)( 显然， ，因此 是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通
3、)(dttz)(t 解为 tttet eccy0032132 3试证向量函数组 ， ， 在任意区间 上线性相关，则存 01x02 bxa 在不全为零的三个常数 使得321,c 即 而式之左端是一个不高于二,00132xcbxac02321 次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与式在 上恒等于零矛盾，bxa 从而得证。 4试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组 与yxAd)(yxBd)( 有一个相同的基解矩阵，则 )(xBA 证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 那么，必有 ,故0)(det 可逆,设逆矩阵为 ,同而)(x)(1x 证毕1()dAB 6设当 时，非齐次线性方程组 （1
4、）中的 不恒bxa()dyAxf()fx 为零。证明（1）有且至多有 n+1 个线性无关解。 证 设 是方程组（1）的相应齐次方程组的 n 个线性无关的解，)(),(1yn 是（ 1）任意一个特解，则 )(x )(,)(),(2 xyxyx 是(1)的 n+1 个线性无关解.这是因为,若存在常数 使得121nkk0)()()( 11 xkxykxyk nn 则一定有 否则有1210 1112 121()() ()nnnkkxyxyx 这与 为(1)的解矛盾，因此， 假设可知0nk021nkk 故 ，所以（1）n+1 个线性无关的解。n 又设 是（1）在(a,b)上的任一解， 是（1）的 n+1
5、 个线性无关)(x12 ny 的解， 那么， 是(1)的对应齐次方程组 ),(1xy2(),yx )()(x （ 2）yxAd)( 的解，而（2）最多有 n 个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数 ,121nk 使得 ),(bax0)()(112211 nnyxkyxkyk 即 显然， ，22n k 0121nk 否则，存在不全为零的常数 使得,11nk 0)()()(21 xyxykxyn 这与 线性无关矛盾，故 ,1 11 112 12()() ()nnnkkxyxyx 这说明（1）的任一解，都可由这 n+1 个线性无关的解的线性表出，同时也说明 （1）的任意 n+2 个解线性相关，故方程组（1）在（a，b）上至多有 n+1 个线性无 关解。