第一节映射与函数ppt课件.ppt

《第一节映射与函数ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一节映射与函数ppt课件.ppt（68页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第一节 映射与函数,一、集合 二、映射 三、函数,一、集合 1、集合概念 所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,由有限个元素组成的集合，可用列举出它的全体的方法来表示.,凡事物a是集合A的元素记作： ；,凡事物a不是集合A的元素记作： ；,由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表示：设M是具有某种性质P的元素x全体组成的，就可表示成：,以后如果没有特别声明，提到的数都是实数.,全体自然数的集合记作 N ，即,全体实数的集合记作 R ， 为排除零的实数集 为全体正实数的集.,全体正整数的集合为,全体整数的集合记作 Z ，即,全体有理数的集合记作

2、Q,数集: 元素都是数的集合.,子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 (读作A包含于B)或 (读作 B 包含 A ).,相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 且 , 就称集合A与B相等，记作A=B.,例如，设A=1,2，B=2,1，C=x|x2-3x+2=0 则A=B=C.,真子集：若 且 ，则称A是B的真子集，记作,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作A B，即 A B= x | x A 且 x B;,2、集合的运算,集合的基本运算有以下几种：并、交、差.,设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B 的集合

3、，称为A与B的并集(简称并)，记作A B，即 A B= x | x A或 x B ；,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为 A与B的差集(简称差)，记作AB，即 AB= x | x A且 x B.,有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集，IA为A的余集或补集，记作 .例如，在实数集 R 中，集合A= x |01.,集合的并、交、余运算满足下列法则。 (1)交换律 ， ；,(2)结合律 ( ) ( ）， ( ) (B C )；,(4)对偶律 (A B)c=Ac Bc，(A B )c=Ac Bc.,(3)

4、分配律 (A B) C=(A C) (B C)， (A B) C=(A C) (B C)；,3、区间和邻域,区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，且 a b .,数集 x|ax b称为开区间，记作( a, b)，即 (a , b) = x| ax b. a 和 b 称为开区间(a , b) 的端点，这里 a (a , b), b (a , b).,数集 x| a x b .称为闭区间，记作 a , b，即, a , b= x | a x b .,a 和 b 也称为闭区间a , b的端点，这里a a , b ， b a , b.,类似地可说明： a , b)= x| a x b ,

5、 ( a , b = x|ax b. a , b) 和 ( a , b 都称为半开区间.,以上这些区间都称为有限区间.数 b a 称这些区间的长度.,类似地可以表示无限区间，例 a , + ) = x|x a, ( , b) = x|x b,邻域： 在数轴上，一个以点x0为中心,长度为 的开区间 称为点x0的 邻域x0称为邻域的中心， 称为邻域的半径邻域是指开区间：,而元素x 称为元素 y (在映射 f 下)的一个原像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 ,即 ，X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作,二、映射 1 、映射概念 定义：设 X、Y 是两个非空集合 ， 如果存

6、在一个法则 f , 使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y 与对应，则称 f 为从 X 到 Y 映射，记作 f : X Y , 其中y称为元素 x(在映射 f 下) 的像 , 并 记作 f (x) , 即 y =f (x),或 f (X ) , 即 = f (X) = f (x) | x X .,注意： 1 、构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X ，即定义域 ;集合Y，即值域的范围： ； 对应法则 f ，使对每个 ，有唯一确定的 y= f ( x ) 与之对应,2、对每个 ，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个 ，元素 y 的原像不一定是唯一的 ；映射 f 的 值域

7、是 Y 的一个子集，即 ，不一定 ,例1 设 f : R R ,对每个x R , f ( x ) = 显然，f 是一个映射， f 的定义域 =R，值域 = y| y 0它是 R 的一个真子集 对于 中的元素 y ，除 y=0 外，它的原像不是唯一的，如 y = 4 的原 像 就 有x=2 和 x= 2 两个,例2 设 X =(x , y)| + =1 ， Y= ( x , 0)| |x| 1 ， f : X Y， 对每个( x , y ) X，有唯一确定的(x , 0 ) Y 与之对应显然 f 是一个映 射，f 的定义域 = X ，值域 =Y 在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位

8、圆周上的点投影到 x 轴的区间 1 , 1 上,例3 设f : , 1, 1 ，对每个x , ， f (x)=sin x 这 f 是一个映射，其定义域 = , ，值域 =1,1,设f是从集合X到集合Y的映射，若 =Y，即Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f为 X 到 Y 上的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元 ，它们的像 ，则称 f 为 X 到 Y 的单射；若 f 映射既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射(或双射).,映射又称为算子，根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集X到它自身的

9、映射又称为X上的变换，从实数集(或其子集) X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.,设 f 是X 到Y 的单射，则由定义 ，对每个 , 有唯一的 ，适合 f (x) = y.于是，我们可定义一个从 到X 的新映射g，即 对每个 ，规定 g( y ) = x ，这 x 满足 f ( x ) = y. 这个映射 g 称为的 f 的逆映射，记作 ,其定义域 , 值域 .,2、逆映射与复合映射,设有两个映射 其中 .则由映射 g 和 f 可以定出一个从X 到 Z 的对应法则 ，它将每个 x X 映成 f g( x) Z.显然，这个对应法则确定了一个从X 到 Z 的映射 ，这个映射称为映射 g 和

10、 f 构成的复合映射，记作 ，即,构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的定义域内，即 .否则，不能构成复合映射.,例4 设有映射 g: R 1,1，对每个x R，g( x)=sin x , 映射 f :1,1 0,1，对每个u 1,1， 则映射g 和f构成的复合映射 :R 0,1，对每个x R 有,三、函数,1、函数的概念,定义：设数集 ，则称映射 为定义在D上的函数，通常简记为,其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域，记作 ，即 .,函数定义中，对每个x D，按对应法则 f ，总有唯 一确定的值 y 与之对应，这个值称为函数f 在x处的函数 值，记作f (x)，即 y =f

11、 (x).因变量 y 与自变量 x 之间的这 种依赖关系，通常称为函数关系.函数值f (x)的全体所构 成的集合称为为函数f的值域，记作 或f (D)，即 =f (D)=y | y= f (x) , x D.,函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.,在函数的定义中，对每个x D，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x D，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多

12、值函数.,有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.,例5 圆面积A与它的半径r之间的相依关系,r在 内任取一个数值时, 由上式可确定圆 面积A的相应数值. r的取值范围为定义域； A的取值范围为值域.,例6 y=arcsin(2+x2),对于任何实数x, 都没有按给定的规则与之对应的y 值.函数定义域不能是空集, 所以此例不是函数关系.,例7 xy,按这个规则，每一个x值有无穷多个y与之对应. 函数定义中对应规则要求对每一个x值只有一个确定 的y值与之对应，所以此例也不是函数关系.,例8 y=x与,是不是相同的函数关系?,两

13、个函数定义域不同, 因此是不同的函数关系.,y=x是定义在 的函数关系；,则在x=0处没有确定的y值与之对应，其定义域是 ；,例9 研究y=x与 是不是相同的函数关系.,y=x与 都是定义在 上的函数关系, 但是对应规则不同：,对于y=x, 当x0 时, y0， x0 ；,因此是两个不同的函数.,2、函数的几种特性,(1)函数有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D. 如果存在数 ，使得 f(x) 对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而 称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数 使得,对任一 都成立，则称函数f ( x)在X上有下界， 而 称为函数f ( x)在X上的一个下

14、界.如果存在数 M ，使得,对任一 都成立，则称函数f (x)在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f (x)在X上无界。,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,(2)函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间 I D .如果对于区间I上任意两点 及 ,当 时，恒有 则称函数f(x)在区间I上单调增加的；如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有,单调增加,单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的,单调减少,单调减少函数 的图形是沿x轴正向 逐渐下降的,(3)函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称如果对于任一x D, f(-x)

15、=f(x) 恒成立，则称f(x)为偶函数如果对于任一x D。 f(-x)=-f(x) 恒成立，则称f(x)为奇函数,偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f(x)=f( x)，所以如果A( x ,f (x) ) 是图形上的点，则与它关于y轴对称的点 也在图形上.,偶函数,奇函数的图形关于原点是对称的.因为若f(x)是奇函数，则f(x)=f( x)，所以如果A( x ,f (x) )是图形上的点，则与它关于原点对称的点 也在图形上.,(4)函数的周期性： 设函数f (x)的定义域为D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 x D 有 ，且 f (x + l)=f (x) 恒成立，

16、则称f (x)为周期函数，l 称为f (x)的周期，通常我们说周期函数的周期就是指最小正周期.,设函数 是单射，则它存在逆映 射 ，称此映射 为函数f 的反函数. 按此定义，对每个 ，有唯一的 , 使得 f (x)=y，于是有,3、反函数与复合函数,(1)反函数的概念,这就是说，反函数 的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.,函数 y=f(x)，x为自变量，y为因变量，定义域为D(f )，值域为z(f )；,函数 ，y为自变量，x为因变量，定义域为 z(f )，值域为D(f )；,习惯上用x表示自变量，用y表示因变量.因此我们将 ，改写为以x为自变量、以y为因变量的函数关系 ，这时我们说

17、 是 y=f(x) 的反函数.,将上式中的x换成y，将y换成x， 因此得出y=3x-1的反函数是 .,(2)复合函数的概念,设函数 y=f (u) 的定义域为 ，函数u=g (x)在D 上有定义，且 ，则由下式确定的函数 y=f g (x) ， 称为函数 u = g (x) 和函数 y=f (u) 构成的复合函数，它的定义域为D，变量u 称为中间变量.,4、函数的运算,设函数f (x) , g (x)的定义域依次为 、 , D= ，可以定义这两个函数的下列运算：,例17 设函数f(x)的定义域为(l，l)，证明必存在(l，l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x

18、).,证：先分析如下：假若这样的g(x)、h(x)存在， 使得 f(x)=g(x)+h(x) (1) 且 g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x),于是有 f(-x )=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) (2) 利用(1)、(2)式，就可作出g(x)、h(x).这就启发我们作如下证明：,5、初等函数,它的定义域随 而定，但不论 为何值， 在 内总有定义，而且图形经过(1,1)点.,幂函数：,称为幂函数,函数,指数函数:,函数,指数函数.,定义域是区间 ，值域为 ，当a1 时，函数单调增加，当0a1 时，函数单调减少.,对于任何实数x，总有ax0，又a0=1,所以指数函数的图形总在

19、x轴的上方，且通过点(0,1).,y=ax与y=a-x的图形关于y轴对称.,定义域为 ，图形总在x轴的正方向，且通过点 (0,1).,函数y=logax (a0， )称为对数函数，它是指数函数的反函数.,对数函数：,科技应用中常用以常数e为底的对数函数： y=loge x 称为自然对数函数，简记作 y=lnx,若a1，对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间 内函数值为正.,若0a1，对数函数logax是单调减少的，在开区间(0,1)函数值为正，而在区间 内函数值为负.,指数函数y=ax的图形与对数函数y=logax的图形是关于直线y=x对称.,三角函数：,函数

20、y=sin x称为正弦函数； 函数 y=cos x称为余弦函数；,它们的周期为 ,定义域 ,值域1,1.sin x为奇函数,cos x为偶函数.,函数 y=tan x称为正切函数；函数 y=cot x 称为余切函数；周期 , 值域 .,tan x的定义域为,cot x的定义域为,正切函数和余切函数都是以 为周期的周期函，它们都是奇函数.,反三角函数：,函数 arcsin x 称为反正弦函数，是sin x 的反函数；,函数 arccos x 称为反余弦函数，是cos x 的反函数；,函数 arccot x 称为反余切函数，是cot x 的反函数；,函数 arctan x 称为反正切函数，是tan

21、 x 的反函数；,四个反三角函数的首字母为大写，它们都是多值函数.,按下列区间取其一段, 称为主值分支(单值函数), 分别记作：,以上这五种函数统称为基本初等函数。,由常数和基本初等函数经过有限的四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函 数， 称为初等函数.,应用上常遇到以e为底的指数函数y= 和y= 所产生的双曲函数以及它们的反函数反双曲函数. 它们的定义如下：,双曲正弦的定义域为 ；它是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间 内它是单调增加的.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线 ；在第三象限内接近于曲线 .,双曲正弦 sh x= ,双曲余弦 ch

22、 x= ,双曲余弦的定义域为 ；它是偶函数，它 的图形通过点(0,1)且关于y轴对称.在区间 内它 是单调减少的；在区间 内它是单调增加的. ch 0=1是这函数的最小值.当x的绝对值很大时，它的 图形在第一象限内接近于曲线 ，在第二象限内 接近于曲线 .,双曲正切 th x= = ,双曲正切的定义域为 ，它是奇函数， 它的图形通过原点对称.在区间 内它是单调 增加的.它的图形夹在y=1和y=1之间；当x绝对值 很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而 在第三象限内接近于直线y=1.,双曲函数 y =sh x , y =ch x (x 0) , y= th x 的反函数依次记为 反双曲正弦 y=arsh x, 反双曲余弦 y=arch x, 反双曲正切 y=arth x. 这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示.,根据双曲线的定义，可证下列四个公式： sh( x+ y)=sh xch y + ch xsh y; sh( x y) =sh xch y ch xsh y; ch( x+ y) =ch xch y + sh xsh y; ch( x y) =ch xch y sh xsh y;,