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1、第九节 各种积分间的关系,一 格林（Green)公式及其应用,二 高斯(Gauss)公式,格林 （Green.George） 简介,格林 （17931841）十八世纪英国数学家,8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。,磨坊工数学家,3,1.区域连通性的分类,一 格林公式及其应用,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲
2、线所围成 的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为 复连通区域.,复连通区域,单连通区域,4,2.格林公式,定理1,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系,格林公式,5,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,规 定,注：,1.格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广。,2.边界是反方向，则,3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 边界必须是区域的整个边界。,7,证明：(1)特殊情形,8,同理可证,9,证明(2),两式相加得,10,11,格林公式的实质:,揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.,12,3.
3、 简单应用,(1) 简化曲线积分的计算,13,证: 令,则,利用格林公式 , 得,14,(2) 简化二重积分的计算,15,16,17,解,18,19,(注意格林公式的条件),20,(3) 计算平面区域面积,21,22,解 由求面积的公式：,24,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,区域为D , 则,求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,注,26,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向.,思考题,27,思考题解答,L由两部分组成,外边界：,内边界：,28,4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件,B,A,如果在区
4、域G内有,29,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,30,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,31,由定理2知：,积分与路径无关，可以取路径为平行于,坐标轴的折线，即,32,33,解,34,35,解,36,37,由定理2知：,由于积分与路径无关，可以取路径为平行于 坐标轴的折线，这样就可求出u（x，y）。,38,及动点,或,则,取定点,称全微分方程,39,40,证: 设,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,41,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,3) 可用积分法求 在域 D 内的原函数:,43,设,思考题,44,提示:,