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1、第二章 随机变量及其分布,随机变量,离散型随机变量及其分布,随机变量的分布函数,连续型随机变量及其分布,随机变量的函数的分布,第一节 随机变量,对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。 为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便， 要将随机试验的结果数量化。,例1:,掷一枚硬币，,X = X(e) =,1, e = H,0, e = T,（1）写出所有的基本事件;,（2）求所有基本事件的概率。,【解】（1）,用X 表示所能出现的数字，则,基本事件:,Ei,x(ei),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数,一样吗？,随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以,不是数；而普通函数
2、是定义在实数域上的。,2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的,概率；而普通函数却没有。,随机变量的分类：,随机变量,非离散型随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,其它,随机变量函数和普通函数的区别：,1. 定义域不同,离散型随机变量的定义,常用的离散型随机变量,第二、三节 离散型随机变量及其分布,离散型随机变量的分布列及其性质,定义1：若随机变量 X,的全部可能取值是有限个或可列,无限多个,则称 X 是离散型随机变量。,一、离散型随机变量的定义,1.概念,试验2：数数徐州火车站候车人数； X =0,1,2, ,试验1：抛掷骰子，观察其出现的点数； X =1,2,3,4,5,6
3、,分布律也可用如下表格的形式表示：,性质：,称为 X 的概率分布或分布律。,2.分布律,(1) X 的可能取值为0,1,2；,典型例题分析,1.求古典概型中随机变量的分布律,（1）求 X 的分布律；（2）画出分布律的图形.,【解】,所以 X 的分布律为,（2）分布律的图形为,方法：在充分理解随机变量含义为基础，求解古典概型中随机变量的分布律 。,【解】由随机变量的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以：,2.已知随机事件的分布律，求解未知参数,方法：随机变量分布律的规范性求解未知参数。,1. 01分布,二、常用的离散型随机变量及其分布,分布律为：,试验背景：如果随机试验只有两个结果，可以构造一
4、个0-1分布的随机变量。,2.二项分布,在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各,为事件A发生的次数，则X服从参数 n, p 的二项分布.,【解】,(1),(2),试验背景：,当,若,则随机变量 X 近似,二项分布的泊松近似,3.泊松分布,其中,泊松分布的图形特点：,4.超几何分布,数，则,试验背景：,设N件产品中有M件次品，先从中抽取 n 件,产品，每次取一件，取后不放回，记 X 为取出的次品,5.几何分布,在相同的条件下对重复试验 E，若重复试验结果相互,件A首次发生试验次数，则 X 服从参数 p 的几何分布.,(1) X 的可能取值为0,1,2,3；,例3:设在6只同类零件中有2
5、只是次品，在其中取3次，,1.讨论与常见分布有关概率,典型例题分析,每次任取1只，作放回抽样，以 X 表示取出的次品数。,求（1）X 的分布律；（2）至少有一件次品的概率.,【解】,(2) 至少有一件次品的事件为 X 1 ,例4：从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.,【解】 (1)由题意,（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,（1）设 X 为汽车途中遇到的红灯数,于是,X 的分布律为,求 X 的分布律.,【解】,设 X 为贡献正确意见的人数，,即,多数人为的事件为,，则作出正确决策的概率为,由题意可知:,【解】,即,则
6、X 为偶数的概率为,由 X 的概率分布化简,例7:设,2.讨论常见分布中参数,且,则,【解】,另一方面：,得,解得：,所以：,，于是,【解】由题意知：,即：,则任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率,解得,分布函数的概念,分布函数的性质,第四节 随机变量的分布函数,一、分布函数的概念,含义：,即X 落在阴影部分的概率.,典型错误：误将分布函数F (x) 值理解为随机变量X 在,x 处的概率。,二、分布函数的性质, 单调不减性：, 右连续性：,，且,，则,(4)某点处概率计算公式,(5) 区间概率计算公式,同理，可得：,典型例题分析,1.讨论分布函数的性质,（A）,【解】,（B）,（C）,（D）,设
7、F1(x)与F2(x)为分布函数，则,，即,【解】由分布函数的性质，我们有,解方程组,得解,2.利用分布函数求概率,【解】,例3：设随机变量 X 的分布函数为,则,由分布函数的定义可得,注：随机变量 X 在分布函数F(x)的连续点处概率为零；另一方面，随机变量 X 在分布函数F(x)的间断点处概率为非零.,【解】,例4.,已知随机变量X 的分布律为,求分布函数,当 时,当 时,当 时,3.已知离散型随机变量的分布律求分布函数,所以 X 的分布函数为,观察离散型随机变量分布函数 F(x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃，其跳跃值为 pk =P X= xk .,连续型随机变量的
8、定义,常用的连续型随机变量,第五、六节连续型随机变量及其分布,一、连续型随机变量,1.概率密度,注：随机变量 X 的可能取值为区间。,2.概率密度的性质, 非负性：, 归一性：,事实上，,(3) f(x)在点 x 处连续，则,f(x)的意义：,随机变量 X 在点 x 处的密集程度。,(4),(5),典型例题分析,1.讨论概率密度函数的性质,（A）,【解】,（B）,（C）,（D）,2.已知密度函数，求解未知参数、区间概率和分布函数,【解】,由归一性可得：,即：,解得：,例3:,【解】,二、常用的连续型随机变量,定义:若连续型随机变量 X 的概率密度为：,则称 X 服从 a, b 上的均匀分布，,
9、X U a, b,1、均匀分布,记作：,分布函数为:,分布函数图象为:,因为,由此可得，如果随机变量 X 服从区间,上的均匀,分布，则随机变量 X 在区间,上的任一子区间上取,值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的,位置无关。,均匀分布的概率背景,2.指数分布,定义:若随机变量 X 的概率密度为：,指数分布。,为常数，则称随机变量 X 服从参数为,其中,的,分布函数：,则,3、正态分布,定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为,则称X 服从参数为,的正态分布或高斯分布，,f (x)的图形：,性质：,(1) f (x)关于,(2) f (x)在,(3),性质：,注：书末附有标准正态分布函
10、数数值表，有了它，,可以解决标准正态分布的概率计算.,表中给的是x 0时, (x)的值.,标准正态分布的计算公式：,一般正态分布的计算公式：,【解】,因为当,时,方程有实根，故所求,概率为,事实上，,典型例题分析,1.考查常见分布的概率,【解】,Y是离散型，,，其中,现在 X 的概率密度为,思考题：设 X 服从U0,3,现对 X 进行独立重复观测3次，记 Y 为观测值大于1的次数，则PY 1=_.,例6:,【解】,= 0.8413.,= 0.0668.,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN (170,62),问车门高度应如何确定?,【解】 设车门高
11、度为h cm,按设计要求,即,0.99,故,查表得,例7：,因为分布函数非减,【解】,因为当,时,方程有实根，故所求,概率为,事实上，,2.考查常见分布的概率与参数的联系,即得：,【解】,因为,离散型随机变量的函数的分布,连续型随机变量的函数的分布,第七节 随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,例1.,设随机变量 的分布律见下表 ,试求随机变量,解:,的分布律。,随机变量 X 的概率密度函数 fX(x),二、连续型随机变量函数的分布,随机变量 Y 的概率密度函数 fY(y),随机变量 Y 的分布函数 FY(y)=PYy=Pg(X) y,解: 由题意可知,的取值范围为,分布函数法解题思路,【解】由题意可知,的取值范围为(8,16),定理,设随机变量 X 具有概率密度,则 Y =g(X) 是一个连续型随机变量Y，其概率密度为,其中h(y)是g(x)的反函数，即,【解】由题意可知,为单调递增函数，且值域,其反函数为,函数,，于是由公式法得,设随机变量 X 具有概率密度,求 Y = X 2 的概率密度.,【解】(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：,例4,课堂练习：,令,求,第二章结束,请注意复习！,