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1、,概,率,统,计,课前复习,随机事件及其概率,随机现象的结果称为事件.描述事件发生可能性的大小的数称为概率.概率论就是研究随机事件的概率.,如何求随机事件的概率,求事件概率,运用频率方法 确定事件概率,对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的,正面概率：,0.5,Menu,运用概率模型 确定事件概率,当随机试验的每一种可能出现的结果出现的可能性相等时，那么关于该试验的事件的概率容易确定。,Menu,古典概型（等可能概型）,古典概型的两个基本特点: （1）所有可能的结果只有有限个;（有限性） （2）每个可能的结果发生都是等可能的.（等可能性）,古典概型的经典案例：抛硬币、抛骰子,古典概
2、型的概率公式:,P(A)=事件A包含的结果数/试验可能出现的所有结果数,排列数与组合数,Menu,运用概率模型 确定事件概率,从n个不同的元素中，任取k个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出k个元素的一个排列 。,从 n 个不同元素中，任取 k 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,写出从标记有a , b , c , d 四个球中任取三个球的所有组合及排列.,组合,排列,abc bac cab acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc
3、 cdb dcb,Menu,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概型.,Menu,运用概率模型 确定事件概率,几何概型,一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m 的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.,条件概率,现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点 数是偶数，这信息对你的判断是否重要？这时你有多少把握断定它是2点？,抛掷一颗质量均匀的骰子 ，那么押中2的概率是多少？,Next,条件概率的定义,条件概率,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,Back,条件概率,1
4、0件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等 品，4件二等品.现从这10件中任取一件,若知道它是正品，那它是一等品的概率是多少？,P(A )=3/10，,P(A|B )=P(AB)/P(B)=3/7.,条件概率,乘法公式,由条件概率的定义：,若已知条件概率, 可以反求P(AB).即,若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) (2),若P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可通过条件概率计算两个事件同时发生的概率.,一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决
5、.,入场 券,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,条件概率,Next,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,条件概率,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,条件概率,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想
6、第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,条件概率,Back,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,也就是说，,条件概率,抽签不必争先恐后,某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,n),如果A是由原因Bi所引起，则A发生的概率是,每一原因Bi都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生的概率的总和，即全概率公式.,全概率公式：,条件
7、概率,为了了解一只股票在一定时期内的价格变化, 常常会去分析影响价格的基本因素, 如利率的变化。假设利率下调的概率为60,利率不变的概率为40。根据经验，在利率下调时该股票价格上涨的概率为80, 在利率不变时该股票价格上涨的概率为40, 求该股票上涨的概率.,解：设A=利率下调, B=股票价格上涨,则 P(A)=0.6, P(B|A)=0.8.,由全概率公式，得,条件概率,两个事件的独立性,在某些特殊情形，有P（BA）= P（B），即事件A的发生 与否并不影响到B发生的概率，有一种“独立”的意味。 为此，引进事件的独立性概念。,事件的独立性,把一枚硬币任意的抛掷两次，事件A=“第一次出现 正面
8、”，事件B=“第二次出现正面”。问P(B|A)和P(B) 相等吗？,甲、乙两人向同一目标射击， 问P(B|A)和P(B)相等吗？,若两事件A、B 满足 P(AB)= P(A)P(B) 则称A、B 相互独立.,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,事件的独立性,事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,炮兵营的两名战士同时向敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.,解,设 A= 甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机 ,C=敌机被击中 ,依题设,事件的独立性,由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影
9、响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,故有,事件的独立性,多个事件的独立性,事件的独立性,从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件 出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,设随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A不发生，则称这样的试验为伯努利试验.,将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验（伯努利概型）.,伯努利概型,抛硬币1000次.,抛骰子24次，每次观察1是否出现.,如果在一次试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n重伯努利试验中，A恰好出现 k 次的概率为：,伯努利概型,伯努利定理,现在抛一枚质量均匀的硬币3次，求出现正面2次的概率。,伯努利概型,一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10个病人中至少有4个痊愈才认为该新药有效。求,虽然新药有效，且使病人的痊愈率提升为0.35，但却被试验否定的概率.,新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.,作业题: 姚明罚篮的命中率为80.9%,若姚明在某次比中 获得4次罚球机会,假设每次投篮都互不影响, 那么他投中3次的可能性有多大?,,Keep in touch,