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1、称X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量，如果对任意的ab ，都有,对于连续随机变量X，有,称函数 为随机变量X的分布函数，记X,对连续型随机变量X，有,连续型随机变量,Review,离散型随机变量的分布律与分布函数,题型1.已知离散型分布律，求分布函数：,例1 (P42.例2)设随机变量X的分布律为,求X的分布函数。,阶梯函数,例2 (P42.例3)设随机变量X的分布函数为,求X的概率分布。,离散型随机变量的分布律与分布函数,题型2.已知离散型分布函数，求分布律：,解,离散型随机变量的分布律与分布函数,例3 (P58.9)设连续型随机变量X的密度函数为,求X的分布函数。,连续型随机变量密度
2、函数与分布函数,题型3.已知连续型密度函数，求分布函数：,解 当x0时，,连续型随机变量密度函数与分布函数,当0x1时，,当1x2时，,连续型随机变量密度函数与分布函数,当x2时，,所以X的分布函数为,连续型随机变量密度函数与分布函数,例4 设连续型随机变量X的分布函数为,求X的密度函数。,连续型随机变量密度函数与分布函数,题型4.已知连续型分布函数，求密度函数：,类似题目：P45.例1,常用连续型分布,1.均匀分布,若连续型随机变量X的密度函数为,则XU(a,b).,可描述“四舍五入”原则下的误差；每隔一定时间 发车一部的车站上乘客的候车时间等等.,例5 已知XU(a,b),求X的分布函数。
3、,均匀分布,解 当xa时，,当axb时，,当xb时，,1.均匀分布（XU(a,b),均匀分布,例6 已知XU(a,b),求,均匀分布,解 XU(a,b)，于是其分布函数为,PcX c+L=F(c+L)-F(c)=L/(b-a).,若X服从(a,b)上的均匀分布，则X取值落在子区间 的概率与子区间的长度成正比。,例7 (P15.例5)某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听报时，可认为求等待时间X 服从均匀分布，求等待短于10分钟的概率。,解 以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，则XU(0,60)，于是其分布函数为,均匀分布,PX 10=F(10)=(10-0)/(60
4、-0)=1/6.,例8 (P45.例2)某汽车从7：00am起，每15分钟来一班车，如果乘客到达此站的时间X是7:00到7：30之间的均匀变量，求等待时间短于5分钟的概率。,解 以分钟为单位，以7：00为起点0，则XU(0,30)，其分布函数为,均匀分布,P10X 15=F(15)-F(10)=15/30-10/30=1/6.,P25X 30=F(30)-F(25)=30/30-25/30=1/6.,P10X 15+P25X 30=1/3.,常用连续型分布,2.指数分布,若连续型随机变量X的密度函数为,可描述电子元件、动物的寿命；排队的服务时间.,则,例9 已知 求X的分布函数。,指数分布,解
5、 当x0时，,当x0时，,2.指数分布（ ),指数分布,例10 (P46.例3)某元件的寿命X 服从参数为1/1000的指数分布。求3个这样的元件使用1000小时，至少已有一个损坏的概率。,指数分布,常用连续型分布,3.正态分布(Normal Distribution),若连续型随机变量X 的密度函数为,可描述测量误差; 信号噪声；考试成绩; 产品的质量指标; 生物的生理指标等等.后面的中心极限定理告诉我们：大量独立同 分布的随机变量的和近似正态分布!,则,3.正态分布（ ),正态分布,正态分布的图象是一条钟形曲线，中间高、两边低、是轴对称图形。,4.标准正态分布（ ),标准正态分布,标准化：
6、,正态分布的标准化,例11 (P48.例4) XN(1,4),求F(5),P0X1.6 P|X-1|2。,正态分布,例12 (P48.例5) 某地区成年男性身高 求身高超过175厘米的概率。,正态分布,例13 从南郊某地乘车到北区飞机场有两条路可走，第一条路较短，但交通拥挤，所需时间XN(50,100)；第二条路线略长，但意外阻塞较少，所需时间Y N(60,16) ，若离登机时间只有70分钟，问应走哪一条路赶飞机？,解 走第一条路线能及时赶到的概率为,而走第二条路线能及时赶到的概率为,所以为了尽可能赶上飞机，应走第二条路线.,正态分布,三倍标准差原则,始于1945年的工业用质量控制图就是根据这个原则制定的. 产品质量特性服从正态分布；当生产中不存在系统误差时， 如果生产处于受控状态，则样本观测值一定落在此3范围内； 否则生产过程就不稳定，需要改进.,例14 假设机床加工的部件长度XN(10, )，部件的长度在10+0.01内才算作合格品.要使合格率达到99.74%，应当如何控制加工精度 ?,三倍标准差原则,解,由3原则，知0.0033.,