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1、,第一节 第一类曲线积分,一、曲线积分的概念,本章要点,二、第一类曲线积分的计算方法,1.柱面的面积,一、第一类曲线积分的概念,设 是一张母线平行于 轴，准线为 平面上曲线 的柱面的一部分，高度为 求曲面的面积.,分析 若 是常量，则曲面面 积为曲线的长度与 之积. 即:,由此得到曲面面积的近似值,其中: s为曲线的弧长. 若 不是常量，则考虑用 分割的方法求之.,在曲线L上插入 个分点 在小弧 段 上取点 并用 作为相应小柱面 的高度，从而得到小柱面的面积的 近似值,即，曲面的面积可以表达为一个 和式的极限.,以 表示 个小弧段的最大长度，在上式取 时的 极限，则有,2.曲线型构件的质量,设
2、一曲线型构件，在 平面上为曲线 密度函数为 求此曲线构件的质量.,分析 如果 为常数，则质量为密度与弧长之 积，即:,若 为变量，仍然考虑分割：在 曲线上插入 个分点 在小弧段 上取点,由此得到小弧段质量的近似值:,由此得到小弧段质量的近似值:,以 表示 个小弧段的最大长度，在上式取 时的 极限，则有,3.曲线积分的定义,定义 设 是 平面内以 为端点的光滑曲线，函 数 在 上有界. 在 上任意插入一个点列,把 分成 个小段，设第 个小段 的弧长为 在 上任取一点 作和,即：,记 如果当 时，和式的极限存在， 则称此极限为数量值函数 在曲线 上的积分， 记作,注：1.此类曲线积分又称为第一类曲
3、线积分或对弧长的 曲线积分:,4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计 算公式得到,2.如果 是 上的连续函数，则曲线积分一定存在；,3.若 是闭曲线，则曲线积分一般表示为,而曲线型构件的质量为,5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质:, 有,若曲线弧 由曲线弧 和 连接而成的，则,由此得到，若 是分段光滑曲线， 在 上连 续，则曲线积分存在.,二、第一类曲线积分的计算方法,设平面光滑曲线弧 由参数方程,给出，函数 在 上连续，则,下面给出公式推导过程:,该点列对应于一列单调递增的参数值,由第一类曲线积分的定义,设参数 由 变至 时， 上的点 依点 到点 在 上从 到 取点列,
4、由积分中值定理，得,其中，,因,取 则,而等式中的最后一式为函数,在区间 上的定积分. 而由于被积函数连续，故,积分存在，因而,特别地，若曲线由方程,给出，则相应的曲线积分为,若曲线由极坐标形式 给出，则,代入积分公式(1)，即有,若对空间分段光滑曲线,是曲线上的连续函数，则,例1 求 其中,解,故，由积分公式，得,例2 求 其中,解,代入相应的积分公式，有,解 由曲线积分的几何意义，得 其中 为平 面曲线 为锥面方程 函数取 为积分变量，则有,例3 求圆柱面 介于平面 和锥面,之间的侧面积,将 代入积分表达式，再由对称性，得,解 由微元素法，得 ，故,例4 求曲线段 绕 轴旋转所得曲面的 面积.,例5 设空间曲线，方程为,质量密度为 求曲线的质量,解 由曲线型构件的质量计算公式:,例6 求心形线 的形心,解 由对称性，得 ，,弧长,故， 由此得到重心坐标： .,例7 求 其中 为连,的线段.,解 线段的方向为 故线段的方程为,由此得到曲线积分为,例8 求 为曲线,上相应于 的一段弧.,解 由积分公式，得,