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1、,二、三阶行列式,三阶行列式,二阶行列式,引入记号,称为二阶行列式，它代表数,即,对角线法则,引入记号,，称为三阶行列式，即,对角线法则,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,称为行列式 的转置行列式.,行列式的性质,性质2 互换行列式的任意两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,用 表示行列式 的第 行，用 表示 的第 列。则 表示交换 的第 行和第 行， 表示交换 的第 列和第 列。,例如,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子 ，则可以把公因子 提到行列式记号之外，即有,推论 如果行列式中有两行（列）对
2、应元素完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,推论1 用数 乘以行列式 等于 中某一行（列）所有元素同乘以数 。,例如：,推论3：若行列式 D 的某行(列)元素全为零，则 D = 0。,推论2：若行列式D中有两行(列)元素成比例，则 D = 0。,例如,例如,注意：做题时容易忽略。,性质4 若行列式D的第i行（列）各元素都是两数之和： ，则行列式 可分解为两个行列式 与 的和，即,例如：,(),性质5 将行列式D的某一行（列）各元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变,例如,行列式的计算,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角行列式，从而得到行列式的值,
3、例1 计算行列式,解,余子式与代数余子式,在n阶行列式 中，划去元素 所在的第i行和第j列后得到的n-1阶行列式称为元素 的余子式，记作 。,叫做元素 的代数余子式。,记 ，,例如,行列式按行（列）展开法则,定理 行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,注：利用该定理可把n阶行列式化为n-1阶行 列式计算。,例如,例 计算,利用展开法则计算行列式,例. 计算,解：,线性变换,定义 已知 个数 若变量 能用变量 线性地表示， 即,称之为从变量 到变量 的线性 变换，其中 称为系数矩阵。,例如 线性方程组,若记,则方程组可以简记为,矩阵乘法的应用：可以把复杂的问题简化,再
4、例如 若已知线性变换,求 到 的线性变换。,分析：如果直接代入很麻烦，若记,则这两个线性变换可以简记为,则 到 变换为,求出AB即可。,解：,设,则,故,又,解：利用矩阵乘法满足结合律,求An。,对于n阶方阵 ，其行列式 的各个元素 的代数余子式 所构成的如下方阵,称为方阵A的伴随矩阵。,重要性质：,例 ，判断A是否可逆,若可逆求A-1。,解：,A可逆。, 注意A*中元素的排序，Aij前面的正负号；,注：, 可验证结论是否正确；, 此方法常用于二、三阶方阵的求逆。,解,线性方程组的有关概念,Cramer法则,线性方程组,利用逆矩阵求解线性方程组,线性方程组的消元法,代表n个未知数；,称为i行j
5、列的系数；,线性方程组的一般形式为,一、线性方程组的有关概念,或简写为,称为常数项或右端项。,其中,1. 齐次与非齐次,若常数项b1=b2=bm=0，则称方程组为齐次线性方程组。 若b1，b2，bm不全为0，则称方程组为非齐次线性方程组。,2. 解、有解、无解,若线性方程组的解存在，则称它是有解的或相容的，否则称为无解(或不相容，或矛盾的)。,若取未知数 代入方程组后各方程为恒等式，则 是方程组的解。,3. 通解、同解,线性方程组的解的全体称为解集合(可能是空集)。,能代表解集合中任一元素的表达式称为通解或一般解。,如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的。,4. 零解与非零解,齐次
6、线性方程组必有解，因为x1=x2=xn=0就是它的解，称之为零解。,如果有一组不全为零的数 是齐次方程组的解，则称之为非零解。,如果线性方程组,的系数行列式 ，则方程组有惟一解,其中,二、Cramer法则,例1 用Cramer法则解方程组,解,齐次线性方程组的相关定理,的系数行列式 D0，则该方程组只有零解。,定理 如果齐次线性方程组,推论：若齐次线性方程组(见上)有非零解，则系数行列式 D = 0。(系数行列式 D = 0是齐次线性方程组有非零解的充要条件),证,易知 ，故,证毕,有非零解？,例2 问 取何值时，齐次线性方程组,解,由定理的推论知，该线性方程组系数行列 式为0，即,所以 或
7、时,齐次方程组有非零解.,若记,则方程组可以简记为,三、利用逆矩阵求解线性方程组,对于n个方程n个未知数的线性方程组 ， 若 ，则有,其中 ， .,分析,所以,Cramer法则,例3,利用逆矩阵求解线性方程组,解,令,所以有 ,又因为 ，所以,可求得,所以,四、线性方程组的消元法,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,一、非齐次线性方程组 ：,系数矩阵为,增广矩阵为,(1),(2),这里，非齐次线性方程组（1）和增广矩阵 是一一对应的。,从求解线性方程组的消元法知消元过程有：,交换某两个方程的位置；,用一个非零的数乘某一个方程；,某一方程的若干倍加到另一个方程上去。,我们可以用矩阵的初等行变换来求
8、解线性方程组。,定理：对于非齐次线性方程组(1) ，有,当 时，(1)无解;,当 时，(1)有惟一解;,当 时，(1)有无穷多解.,推论：Ax=b 有解,二、齐次线性方程组 Ax=0,齐次线性方程组（6）可看作方程组（1）的特例，此时,因此恒有解，把定理用于（6）得,(6),定理：对于齐次线性方程组（6），有,当 时，（6）只有零解,当 时，（6）有无穷多解, 通解中含有nr 个自由变量。,推论：齐次线性方程组 有非零解,例6当取何值时，线性方程组,无解、有惟一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求通解。,解：系数行列式为,于是（1）当 且 时，方程组有惟一解;,（2）当=0时，对 进行初等行变换,方程组无解。,（3）当=1时，,方程组有无穷多解，且通解为,