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1、第二章 一元函数微分学,( Single Variable Differential Calculus ),授课教师 赵箭光 （1020301）,第二节 初等函数的导数（一）,一、按定义求导数,二、和差积商的求导法则,三、反函数的求导法则,四、复合函数的求导法则,( Derivative of elementary function ),一、按定义求导数,1常数的导数,二、函数四则运算的求导法则,定理1,此法则可推广到任意有限项情形，,前提：函数u(x)，v(x) 在点 x 处可导。,例1,解,定理2,证,例2,解,定理3,证,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,注意:,分段函数求导时,
2、分界点导数用左右导数求。,三、反函数(Inverse function)的求导法则,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,若单调函数 在某一区间内可 导，而且 ，那么它的反函数y = f (x) 在对应的区间内也可导，且,证,例1,解,同理可得,例2,解,同理可得,例3,解,特别地,问题,解决方法,复合函数求导.,过程,？,四、复合函数的求导法则,令,1问题的提出,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。(链式法则),2复合函数的求导法则,证,推广,因此，复合函数求导的关键是如何把复合函数一层一层地分解成可用前面的公式求导的比较简单的函数，然
3、后由外层向内层逐步求导。,例1,解,例2,解,例3,解,为求导方便起见，对于函数积或商的对数的求导，一般先化成对数函数的和或差以后再求导。,例4,解,小结,1明确复合层次（中间变量）,2使用链式法则,3结果中的中间变量必须用自变量表示,复合函数求导数要领,解,9. 求下列函数的极限：,思考题,一、 求下列函数的导数,二、 证明曲线 x y = 1(x0)上任意一点处的 切线与两坐标轴所围成的三角形面积等于2。,三、 设 f (x) = x(x-1)(x-2) (x-100)，求 f (0),第二节 初等函数的导数（二）,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,( Derivative of Elementary Function ),五、隐函数(Inexplicit function)的导数,定义：,隐函数的显化,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则：,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例2,解,解得,例3,解,解得,