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1、第二讲 基本概念,一、总体，样本和统计模型,二、统计量及其分布,一、总体、样本和统计模型,例1,总体：,研究对象的全体，,如例1中的这批产,通常用 等表示。,产品就构成总体。,(Population),个体：,总体中的每个对象，,如例1中的每个,产品。,样本的实现称为样本,的一组观察值（Observation or data）,记为,今后，为了方便若不加特别声明，用,样本所有可能的取值构成的空间,在统计中，对总体的推断，实际上是推断,总体的分布，即确定总体的分布。为此，我,个分布最适合还得通过统计推断来确定，因,们可以根据对总体了解程度，假设总体的分,布属于某个分布族,至于其中哪一,此往往将,
2、其中,如例1中，统计模型为 ，,其中,二、统计量及其分布,设统计模型为 ，我们仅知道,总体的分布属于此分布族，但哪个最合适,还需经过统计推断。,推断总体的分布，实际,上就是确定参数 ，,为此，需抽取样本。,样本来源于总体，它应当包含参数的所有,相关信息，但观察值呈现为一堆杂乱无章,数据，故需对数据进行加工或压缩，提取,有关参数的信息，而剔除无关的信息，这在,统计上就反映为构造样本的已知函数，即,例2,的函数,可能对应相同的T值，这样实际上是对样本,起到了加工或压缩的作用。,1. 统计量,定义1,知的参数。,样本均值（Sample Mean）：,样本方差（Sample Variance）：,常用
3、统计量(Statistic)：,样本标准差（Sample Standard Deviation）：,样本矩（Sample Moment）,2. 充分统计量,统计量既然是对样本的加工或压缩，在这,个过程中可能有损失有关参数的一部分信息，,现在问题是在这个过程中是否存在某些统计,量，既起到压缩作用，又不损失参数的信息，,这样的统计量称为充分统计量。,例3,续例2,定义2,充分统计量（Sufficient Statistics）,一般情况下，利用条件分布证明统计量的,充分性是比较困难的。,但存在证明充分性的,一个充分必要准则，就是下面的因子分解定,理（Factorization theorem）。,
4、定理1,例4,3. 抽样分布,常见分布的特征函数：,特征函数,二项分布 ：,Poisson分布 ：,正态分布 ：,特征函数的性质：,（1）有界性 对任意 ，有 。,（2）设 ，其中 为常数，则,（3）若 与 相互独立，则有,（4）若 存在，则 存在，且,（5）特征函数与分布函数相互唯一确定。,三大分布,分布,标准正态分布 ，,称随机变量,所服从的分布为自由度是 的 分布，,记为,定理2,体 ，,则有,定理3,则,（1）,的特征函数为,（2）,定理4,且相互独立，,定理5(Cochran分解定理),标准正态分布 ，,又设,非负定二次型，,其中 是秩为 的,则 相互独立且,分布,所服从的分布为自由
5、度是 的 分布，,记为,相互独立，,且 与,则称随机变量,分布,相互独立，,且 与,则称随机变量,所服从的分布为自由度是 的 分布，,正态总体样本和方差的分布,定理6,设 是来自正态总体,的一个简单样本，,是 阶矩阵，,则,其中,定理7,设 是来自正态总体,的一个简单样本，,则,（1）,（2）,与 相互独立；,（3）,定理8,设 是来自正态总体,的一个简单样本，,则,定理9,则,且两样本独立，,其中,定理9,则,且两样本独立，,定义,给定的实数 ，,常见分布分位点记号：,若存在 使得,4. 分位点,设随机变量 的分布函数为 ，,对任意,成立，,则称 为此概率分布的 分位点。,标准正态分布 ：,用 表示，即,由对称性有,分布：,用 表示 分位点，即,分布：,用 表示 分位点，即,分布：,用 表示 分位点，即,