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1、一、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,5.1 大数定律,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,例1 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使用切贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率. 解：令 表示在夜晚同时
2、开着的灯数目,则 服从 的二项分布,这时 ,由切贝晓夫不等式可得,例2 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数
3、定律）,设 X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1, 2, ，,切比雪夫,则对任意的0，,切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的推论.,推论（独立同分布下的大数定律）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,依概率收敛的序列还有以下的性质：,下面给出的贝努里大数定律，是定理1的一种特例.,贝努里,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率
4、,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理2（贝努里大数定律）,或,贝努里,于是有下面的定理：,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，,定理3（辛钦大数定律）,辛钦,在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中
5、每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的这种随机变量往往近似地服从正态分布这种现象就是中心极限定理的客观背景本节只介绍三个常用的中心极限定理,2 中心极限定理,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= Var(Xi)= ， i=1,2,，则,定理2(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np
6、,np(1-p).,即这个定理表明，正态分布是二项式分布的极限分布.,例1 某公司有500辆汽车参加保险,在一年里汽车出事故的概率为0.006,参加保险的汽车每年交800元的保险费,若出事故,保险公司最多赔偿5万元,试利用中心极限定理计算,保险公司一年赚钱不小于200000元的概率?,解：设 表示500辆汽车中出事故的车辆数,则服从 的二项分布,这时 而保险公司一年赚钱不少于20万就是事件 即事件 .根据隶莫弗拉普拉斯定理,可见,保险公司在一年里赚钱不少于200000元概率为0.6781.实际中,保险公司通过进行数据分析,来确定保费与赔偿金额.,例2 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.,解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,X B( 6000 , 1/6 ),由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,则,有,比较几个近似计算的结果,中心极限定理,二项分布(精确结果),Poisson 分布,Chebyshev 不等式,定理3（李雅普诺夫(Liapounov)定理),设随机变量,它们具有数学期望和方差,记,若存在正数,相互独立,证明略.,四、小结,中 心 极 限 定 理,注,