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1、变换：人们在处理和分析问题时，常常需要将问题进行转化 从另一个角度进行处理分析，数学上称之为变换。,傅里叶变换,由于既能简化计算（化微分方程为代数方程，化卷积为乘积）又具有非常特殊的物理意义，具有广泛的应用。（如研究自动控制系统的频率的方法就是建立在这个基础之上的),内容简介：我们从周期函数在区间 上的傅里叶级数展开出发，讨论当周期 时它的极限形式，从而得到非周期函数的傅里叶积分公式，然后引入傅里叶变换的概念，并讨论它的一些性质和简单应用。,第八章 傅里叶变换,一、傅里叶级数 1.三角形式,称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b,上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足
2、条件：, 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一 类间断点；, f（t）在a,b上只有有限个极值点。,1.1 傅里叶积分公式,从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为,2.傅氏级数的复指数形式,在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为,余弦傅氏积分公式 正弦傅氏积分公式 P113 例 8.1 例8.2,定理8.2（傅氏积分定理）若f (t)在(-，+)上 满足下列条件：,（1）在任一有限区间满足狄利克雷条件；,则在 的连续点t处有,傅氏积分公式的三角形式：,1.2 傅里叶变换,傅氏
3、变换对的物理意义,1. 与 构成一个傅氏变换对，它们是由许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包含 分量； 2. 是 中各频率分量的分布密度， 称为频谱密度函数 为振幅谱 为相位谱,正弦、余弦傅氏变换,余弦傅氏变换 正弦傅氏变换 P115 例8.3 8.4,第三节 单位脉冲函数（-函数） （狄拉克函数）,1.函数的定义,(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。,二、单位脉冲函数的性质,性质8.1 对于任意的连续函数 ，都有 性质8.2 性质8.3 是偶函数，即 性质8.4 其中 称 为单位阶跃函数,三、广义傅里叶变换,关于 函数的重要公式 更一般的有 故 与 构成傅氏变换对 例题见
4、P121 8.8 8.9 8.10,3.函数在积分变换中的作用,(1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。,这种频谱图称为离散频谱（对应周期函数，也称为线状频谱，而非周期函数的频谱也就相应地对应着连续频谱）,(四)物理意义频谱：指频率
5、和振幅的关系图,1.非正弦的周期函数的频谱,第四节 傅氏变换的性质,1线性性质。,2位移性质,该性质在无线电技术中也称为时移性质。,另：象函数的位移性质,象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质,3.翻转性质,3对称性质 （P123),4相似性质 （P125),5.微分性质（导数的像函数）,若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时， ，则,推论 若 （k=1,2,n）在 上连 续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 则有,像函数的微分性质（像函数的导数）P127,若 ，则,一般地，有,若当 时， = ,则,6.积分性质,7.乘积定理,若 ， ，则,其中 ，
6、 均为t的实函数， 、 分别为 、 的共轭函数。,像函数的积分P128,8.帕塞瓦尔（Parseval)等式 （能量积分公式）,若 ，则,该等式又称为巴塞瓦等式。,9.卷积定理,设 ， 都满足付氏积分定理中的条， ， 则,-、常用函数傅里叶变换公式,二、尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式,8.5 卷积与卷积定理,二、卷积的性质,一、卷积定义 设 与 在 内定义，若广义积分 对任何实数 都收敛，则它定义了一个以 为自变量的函数，称此函数为 的卷积，记为 即,（4） 卷积定理 设 推论 设,8.6 傅氏变换的简单应用,应用傅氏变换求解方程的基本思路： 对要求解的方程两端取傅氏变换，将其转化为像函数的代数方程，由这个方程解出像函数，然后对像函数取傅氏逆变换便得到原方程的解,