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1、1,第五章 离散系统时域分析,51 离散时间信号序列,一、离散时间信号,1定义:仅在一些离散时刻k(0,1,2,)上有定义(值)的信号，用f(k)表示,2序列：f(k)的函数值构成一个有序的排列，记为 f(k)。f(k)既代表一个序列，又代表序列中第k个元素的值（称为样值）。,2,二、常用的离散时间信号(即典型序列),1单位序列,抽样性质,2单位阶跃序列,与(k)的关系:,3,3单位门序列,GN(k)= (k)- (k-N ),4单边实指数序列,(a为实数),4,5正弦序列,0序列依次重复出现的频率。,为有理数，正弦序列为周期序列。,5,例:求序列,的周期T,解:,6,三、离散时间信号的时域运
2、算与变换,1相加(减)：f(k)= f1(k)+ f2(k)：同序号的值相加(减)。仍用加法器实现。,2相乘：f(k)= f1(k) f2(k)：同序号的值相乘。仍用乘法器实现。,3数乘：y(k)= a f(k)：取每一样值乘以常数a。用数乘器、比例器实现。,7,5移位：y(k)= f(km)：(m 0的整数，+时左移，-时右移),8,6折叠：y(k)= f(-k)：(将f(k)图形沿纵轴翻转),7倒相：y(k)=- f(k)：(将f(k)图形沿横轴翻转),9,8展缩： y(k)= f(ak)：(a 0的实数）,注意：（1）展缩时要舍去产生的非整数离散点。（2）离散信号展缩后再缩展不能恢复原序
3、列！,其中：0 1时，时间上 压缩为原来的1/a倍；,10,9差分(即特定形式的移位与加减运算)：,后向差分：,2f(k)=f(k)-f(k-1)= f(k)-2 f(k-1) + f(k-2)（二阶),前向差分：,2f(k)=f(k+1)-f(k) =f(k+2)-2 f(k+1)+f(k)(二阶),f(k)= f(k+1)- f(k) (一阶),f(k)= f(k)- f(k-1) (一阶),11,52 离散时间系统的数学模型,一、线性时不变离散时间系统,1离散系统：激励和响应都是离散信号的系统,2分类：亦可分为线性与非线性；时不变与时变；因果与非因果等。,时不变： f(k) y(k) f
4、(k-m) y(k-m),因果系统：响应总是出现在激励之后。即： 当k k0 ，f(k) = 0当k k0 ，y(k) = 0。,12,3线性时不变(LTI)系统的性质,1）线性特性(齐次性、叠加性)： a f1(k)+b f2(k) a y1(k)+by2(k),2）时不变性： f(k-N) y(k-N),例1：判断下列系统的类型,y(k) = k f(k) , k0；,解：,满足线性特性,13,时变的,因果的,14,二、离散时间系统的数学模型 差分方程,连续时间系统中的激励与响应是连续信号，描述它们之间的关系的是微分方程数学模型。,离散时间系统中的激励与响应是离散信号，描述它们之间关系的方
5、程称为差分方程数学模型。,差分方程可以由连续系统数学模型离散化后得到，也可以直接从离散系统自身规律中得到。,15,例：,试列写图示一阶电路离散化后的差分方程。,解：不难得到连续系统的微分方程：,y(t)等间隔离散化，T很小时，y(t)的导数近似为,16,用离散时间变量kT代替连续时间变量t,一阶差分方程,17,例：某储户每月月初定期在银行存款。设第k个月存款额为f(k)，银行支付的月息为，每月利息按复利结算，计算第k月初的本息总额y(k),解：每月本息总额包括：本月存款、上一月本息总额和上一月本息总额产生利息。,差分方程中离散自变量k不仅局限于时间，对于不同的系统含义不同可为温度、长度等。所称
6、的离散时间系统中“时间”是一个广义概念。,18,any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n) =bmf(k)+bm-1f(k-1)+b1f(k-m+1)+b0f(k-m),n阶差分方程一般可表示为,差分方程由激励序列项（右边）和响应序列项（左边）组成。响应序列的变量最高序号和最低序号的差数称为差分方程的阶数。变量序号以递减方式排列称为后向差分方程，变量序号以递增方式排列称为前向差分方程。,19,三、离散时间系统的传输算子,在离散时间系统中引入差分算子E 有,E 也称为位移算子，是将序列向前移动一个时间单位的运算。,传输算子,20,四、离散时间系统的模拟：,1基本运
7、算单元,加法器,数乘器,单位延迟器,21,2系统的模拟,离散系统的模拟图 差分方程（方法同前）,同样有直接、级联、并联、混联等形式,例：已知某系统模拟图如图所示，试写出其差分方程。,整理：y(k)-ay(k-1)=f(k),解：y(k)=ay(k-1)+f(k),是一阶差分方程,22,y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k)+b0f(k-1),23,作业： 5-3（3） 5-5 5-8（3）,24,53 常系数线性差分方程的求解,一、常系数线性差分方程的求解方法,1迭代法由系统的初始状态及递推式不断迭代(难以得到闭合的解析式)。,2时域经典法分别求齐次解与特解，再代入边界条件
8、求待定常数。,3yx(k)用求齐次解的方法；yf(k)用求卷积和的方法(*),4z变换法类似于连续系统中的拉氏变换法,25,二、齐次差分方程的通解 yo(k) (零输入响应),any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0(后向),any(k+n)+an-1y(k+n-1)+a1y(k+1)+a0y(k)=0(前向),对应的特征方程为：ann+an-1n-1+ + +a1 + a0=0,1特征根均为单根：,12n,则齐次通解为：,yo(k)=C11k+C22k+Cnnk ，k0,2特征根含有r重根1，其余为单根：,y0(k)=(C1+C2k+C3k2+Crkr-
9、1)1k +Cr+1r+1 k+Cnnk , k0,Ci (i=1, 2, n)为待定常数，通过与外施激励无关的初始值齐次通解来确定,26,例：,解：,原方程的激励为零，所给初始条件与激励无关，可以用来确定待定系数。,解得,27,三、非齐次差分方程的解 (全响应),any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n) =bmf(k)+bm-1f(k-1)+b1f(k-m+1)+b0f(k-m),非齐次差分方程方程完全解：,y(k) = yo(k) + yd(k),(1)特解yd(k)的形式通常与激励一致,(2) 初始条件y(0), y(1), y(n-1)(与外施激励有关
10、)代入完全解，可确定待定常数Ci 。,(对应齐次方程的通解) (特解),28,29,例：设 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k (k)，y(0)=0， y(1)=2，求y(k)。,解：特征方程,2+3+2=0, 1=-1, 2=-2,yo(k)=C1(-1)k+C2(-2)k,i) 确定yd(k)的形式为A2k,方程两边同乘2-k得,A+3A2-1+2A2-2=1,解得 A=1/3 得 yd(k)=(1/3) 2k (k),30,y(k)=C1(-1)k+C2(-2)k +(1/3) 2k (k),ii) 将y(0)=0，y(1)=2代入,注意此例初始值是k=0和1的值即外施激励接
11、入以后的值，所求解是全响应。,31,四、离散时间(因果)系统全响应的分解形式,全响应=自由响应(齐次通解)+强迫响应(特解),1y(k)=yo(k)+yd(k),取决于系统结构参数,通常与激励一致,2y(k)=yx(k)+yf(k),i)yx(k) 形式与yo(k)相同，但Ci要通过零输入下初始条件yx(-1), yx(-2), yx(-n)来确定。,若给出y (0), y (1), y (n-1) 则要导到零输入下。,ii) yf(k)与全响应形式相同，但Ci要通过零状态下初始条件yf (-1)=yf (-2)=yf (-n)=0确定,3全响应=暂态响应(k有关)+稳态响应(k无关),32,
12、例：设y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k(k)，y(0)=0，y(1)=2，求yx(k)、yf(k)、y(k)，及yo(k)和yd(k)。,解：i) 求yx(k),yx(k)=C1(-1)k+C2(-2)k,给定y(0) ，y(1)的值不能用来来确定C1，C2,将y(0) ，y(1)的值代入原方程,0+3y(-1)+2y(-2)=1,2+30+2y(-1)=2,解得,yx(k)=(-1)k-2(-2)k，k-2,确定C1 = 1，C2 = -2,33,ii) 求yf(k),yf(k) =C1(-1)k+C2(-2)k +(1/3) 2k (k),代入yf(-1) = yf(-2)=
13、0 确定C1，C2,解得,34,54 离散系统的单位序列响应,一、离散时间信号的时域分解,有限长序列,35,（1）求h(k),（2）求卷积和,离散时间系统的零状态响应：,36,单位序列响应的求解,一、迭代法(递推法),递推式,h(k)+a0h(k-1)=(k) (零状态h(k)=0, k0),例: 已知离散系统的传输算子,y(k)+a0y(k-1)=f(k),解：系统的后向差分方程为：,h(k)= (k)-a0h(k-1),h(0)=1-a0h(-1)=1；,h(1)=0-a0h(0)=-a0 ；,h(2)=0-a0h(1)=(-a0)2；,h(3)=0-a0h(2)=(-a0)3；,单位序列
14、响应方程,h(k)=(-a0)k(k),求其单位序列响应：,37,二、等效初值法,(k)仅在0时作用于零状态系统，相当于(k)给系统赋了一定的初始值，可由迭代法求得n 阶系统的n个初始值h(0), h(1), h(n-1)。,例：二阶系统h(k)+a1h(k-1)+a0h(k-2)= (k),解：迭代法可得初始值：,h(0)=1-a10-a0 0=1，h(1)=0-a1 1-a0 0=-a1,k1时求h(k)的问题变为零输入响应,h(k)+a1h(k-1)+a0h(k-2)=0，h(0)=1， h(1)=-a1,h(k)=C11k+C22k (k)确定C1和C2得h(k),38,三、传输算子法
15、,1基本算子分式对应的h(k)：,h(k)+a0h(k-1)= (k),h(k)=(-a0)k(k),1）,2）,h(k)+a0h(k-1)=(k-1),h(k)=(-a0)k-1(k-1),3）,h(k)+2a0h(k-1)+a02h(k-2)=(k),h(k)=(k+1)(-a0)k(k),39,h(k)=k(-a0)k-1(k-1)=k(-a0)k-1(k),4）,5）,(k-1) a0 k-2 (k-1),6）,2一般传输算子：将H(E)/E部分分式展开 ,基本算子分式Hi (E) hi(k),7）,(k+m),40,例: 已知某系统的,求h(k),解：,方法一,方法二,h(k)可能有
16、不同的表示形式，但本质是一致的,40,41,作业： 5-10 （1）（3）第（3）题求零状态响应 5-12 （3）,42,55 卷积和,全响应=零输入响应+零状态响应：,y(k)=yx(k)+yf(k),yx(k) 可用求齐次解的方法,注意其系数的确定；,1定义：,卷积和的上下限的确定与卷积积分的上下限的确定相同，f1为因果信号，则下界从0开始；f2为因果信号，则上界到k为止。,yf(k) 可用求f(k) 与h(k) 的卷积和得到。,43,2性质：,1、基本运算规律：,交换律 ：,分配律：,结合律：,f1(k)* f2(k) = f2(k)* f1(k),f1(k)* f2(k)+ f3(k)
17、= f1(k)* f2(k)+ f1(k)* f3(k),f1(k)* f2(k)* f3(k)= f1(k)* f2(k)* f3(k),位移性质：,y(k)= f1(k)* f2(k)f1(k-m1)* f2(k-m2) = y(k-m1-m2),特例：f(k)*(k) = f(k)，f(k)*(km) = f(k m),44,2求卷积和的常用方法：,1) 按定义直接求和法,2) 图解法,4) 对位相乘求和法,5)排表法,6) 解析法借助于“卷积和”表,3) 单位序列卷积法将其中一个信号分解为加权的单位序列和，再利用f(k-m1)*(k-m2) = f(k-m1-m2)等性质。,45,解：1）直接求解：,46,47,48,49,3）解析法：,50,4）对位相乘求和法:,将序列按序号排列，右端对齐，不进位相乘,51,卷积和的起始序号为两原被卷积序列的起始序号之和。,中间序号没有的值，一定要添0,52,53,例：求差分方程描述的 离散系统的响应,解：系统为零状态响应，用卷积和方法,54,55,解得,1）利用系统的线性时不变性,56,57,解得,58,本章重点,1.离散系统的模拟框图表示 2.离散系统差分方程的求解 3.单位序列响应求解 4.卷积和求解,