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1、第八章 投资组合（一）,结合前面章节讨论的参与者偏好性质，我们现在来考虑他们的消费/投资组合问题。 记秩为N的交易证券的支付矩阵为X，记相应的价格向量为S，则每个消费者的优化问题可以写成,（8.1）,这是（2.6）式的重新描述，只是使用了时间可加的期望效用函数，这里，为了简化我们忽略了参与者的下标。（8.1）式的解给出参与者的最优消费和组合选择。 在求解（8.1）式之前，我们首先考虑了其解的存在性和基本特征，接着分析它的解所给出的最优组合选择的经济特征，对具体解的讨论则留给了下一章。,本章内容架构,解的存在性及其特征 投资组合的选择 最优组合的性质 小结,8.1解的存在性及其特征,（2.6）,
2、式（2.6)比（8.1）更具一般形式，所以我们只要证明式（2.6)的解的存在性，（8.1）式的解的存在性也就自然成立。 定理8.1 当且仅当证券市场，记作X,S,不存在套利机会时，式（2.6)有解。,证明： 首先假设（2.6）有一解为，那么相应的消费为c=c0;c1=e0-sT;e1+x ,且存在一个套利机会。记d-sT;x为套利组合所产生的消费。那么根据套利的定义有d0。 考虑如下的组合选择：c0-sT; +,与之相对应的消费为c+d。由不满足性，c+d严格由于c，即c+dc. 因此，c不可能是（2.6）的解。,现在假设不存在套利机会，根据资产定价基本定理，存在一严格为正的状态价格向量使得S
3、T= TX。由组合产生的消费为-ST ; X =- TX , X 。 由（2.5）式定义的预算集为 B(e，X,S)=c0:c=e+ - TX ；X , RN 接下来证明B(e，X,S)是有界闭集。定义如下集合： (e ，) c0:c=e+ - Td；d, R 因为B（e）=c ：d= X , RN， 所以可以说B（e）,把预算约束直接代入效用函数（且忽略消费非负的约束），我们可以把（8.1）重新写成,（8.2）,这也叫做Euler方程。方程的右边是投资于一单位证券n使得未来消费增加 而得到的边际效用。方程左边是由于需要付出其价格Sn而减少的的当前消费所损失的边际效用。达到最优时，两者必须相等
4、。 也就是说，参与者在今天消费最后1元和把它用来投资以取得明天消费之间是无差异的。,Euler方程的另一种表达方式如下： 因此，对于每一个交易证券来说，投资对今天消费的相对边际效用全都等于1。,（8.3）,一阶条件并不总能保证最优性，但是如果下面的二阶条件也同时成立，则可保证为最优 对于凹的u0和u1，二阶条件总是成立的。因此，我们在以后的讨论中除必要时将不再提及二阶条件。因为对于凹的期望效用函数，一阶条件已是最优化的充分条件。,（8.4）,例8.1 考虑一个经济，将来有两个概率相等的状态，市场中只有一只交易证券，其价格和支付如下：,s,其中，x1而s为当前价格，同时由无套利原理，s必须为正。
5、,某参与者在0期的禀赋为w0，在一期的禀赋为0。他的期望效用函数为： logc0+1/2(logc1a+logc1b) 参与者持有的债券记为。那么他的优化问题为,在上面显然可以看出，投资者的投资对递增，而度量了他对未来消费的关心程度；对s递减，而s度量了获得未来消费的成本。投资随财富的增加也增加。当他变得更加富有时，他为未来投资越多。达到最优时，一单位当前消费得到的边际效用与未来投资得到的边际效用分别为：,很显然，他们是相等的，正如Euler方程所要求的那样。,8.2投资组合的选择 为方便起见，我们考虑最优消费/投资组合选择问题的一个等价表述。记组合的价值为 we0-c0=ST 显然，w是参与
6、者将投资于证券组合的0期储蓄。它是扣除了当前消费后的金融财富。 我们可以把最优消费/投资选择问题分解为两个部分：第一，我们求解给定储蓄水平下的最优组合问题。这将决定给定储蓄水平下的最优组合选择以及所得到的期望效用。接下来求解最优消费/储蓄问题，权衡当前消费得到的效用以及未来消费得到的期望效用，而未来消费是由选择的最优组合所得到。,(8.5),给定投资总额，组合选择问题就是,函数v1(w)是财富w的间接效用函数，即用w进行最优投资所获得的期望效用。,(8.6),（8.1）式给出的完整的消费/组合问题现在就可以重新写成下列形式：,（8.7）,给定储蓄的间接效用函数v1(w)，求解最优消费/储蓄问题
7、就相对简单了。因此，本章的大部分内容中我们重点考虑组合选择问题（8.6）式。,为了简化组合选择问题，在本章的其余部分，我们假定 这就意味着参与者的禀赋只包括当前消费以及对证券的持有（而不包括任何未来形式的消费）。显然，赋予参与者的组合具有其市场价值，它等同于赋予参与者相同数额的财富（或当前消费），在这种情况下，组合选择问题简化为,（8.8）,为简便起见，我们忽略了时间指标1。,当存在无风险证券时，最优组合选择问题还可以进一步简化。令第N只证券为无风险证券，利率为rF。不失一般性，我们假设Sn0，n=1,N。（如果证券价格为0，我们可以用证券和无风险证券的组合来代替它。这不会改变市场结构。同样的
8、，我们可以进一步假设所有证券价格为正。对于价格为负的证券，我们可以用一个具有相反支付和价格的证券来代替它。）记an=nsn为证券n上的投资额（元），我们定义证券n的总收益率为,（8.9）,证券n的（净）收益率为,（8.10）,（8.11）,风险证券和无风险证券收益率之间的差值 ,表示它的超额收益。用 表示风险证券的收益率向量， a=a1;a2;aN-1表示在这些证券上的投资额。这样，最优组合选择问题就变成,（8.12）,问题（8.12）式的一阶条件为,（8.13）,这给出了用来求解a的N-1个等式。,8.3最优组合的性质 一般来说，（8.12）式的解-也就是参与者的最优组合选择-依赖于两个因素
9、：（1）证券收益率的分布（2）参与者的风险厌恶程度。基于这两个因素对最优组合的影响，我们首先考虑解的一般性质，然后下一章将对效用函数和收益率的分布作出进一步的限制，以得到解的更加具体的性质。,A 单只风险证券 我们从只有一只风险证券的情形开始。记风险资产的投资额为a。我们可以得到如下的结论： 定理8.2 如果参与者是严格风险的，那,a=0当且仅当 =rF； a0当且仅当 rF； a0当且仅当 rF。,证明：记,风险资产的期望收益率与无风险利率之间的差值 ，叫做风险溢价。 定理8.2的含义是，只有风险资产的风险溢价为正时，参与者在风险资产上的投资额才为正；风险溢价为0时投资额为0；风险溢价为负时
10、投资额为负（即卖空该证券）。这个结论反映了一个风险厌恶的参与者投资于风险资产时所面临的风险与收益之间的权衡。他厌恶风险，却喜欢风险溢价即期望额外收益。当在风险资产上的投资额很小时，由期望收益得到的好处要大于风险带来的成本。当投资额足够大时，对风险的考虑会超过期望收益。,如前所述，参与者的组合选择依赖于他们的偏好，特别是他们的风险厌恶程度。我们现在来考虑这种依赖关系。令A(w)为参与者的绝对风险厌恶，w为他的总投资额。为具体起见，假设 rF,那么，根据定理8.2我们有a0。令,定理8.3我们有 a(w)=0,当且仅当A（w）=0（CARA); a(w)0,当且仅当A（w）0（IARA). （财富
11、越多，投资在风险资产上的份额越小） 证明：考虑DARA也就是A（w）0的情形。一阶条件为,定理8.4描述的是风险资产的投资总额如何依赖于总投资额。我们也可以用相对值来考虑这个问题。也就是说，当投资额增加百分之一时，风险资产上的投资会增加百分之几？可以用a对财富的弹性来刻画风险资产的相对投资倾向：,定理8.4我们有 e=1,当且仅当R(w）=0（CRRA)； e1,当且仅当R(w）0（IRRA)。,接下来对这个定理进行证明，由一阶条件我们有：,在一个风险资产和一个无风险资产的情况下，上面的3个定理提供了一些组合选择如何依赖于收益率的性质，特别是风险证券的风险溢价以及参与者的风险厌恶程度和财富。以
12、后，我们还将在更强的条件下对最优组合进行定量化和更加具体的描述。,B多只风险证券 现在我们考虑存在多只风险证券时的一般情形。记风险证券的最优组合为a。最优组合下的最终财富为 我们马上可以得到如下的结论： 定理8.5 当且仅当,证明：从一阶条件出发立即可以得到必要性。我们只考虑充分性，当所有风险证劵的风险溢价都为0时， 也就是组合a=0的总收益。有Jensen不等式，,因此，a是最优的。,当某些风险证券的风险溢价不为0时，情况就变得更加复杂了。最优性意味着,定理8.6 最优组合的期望收益率大于无风险收益率。 作为可选择的投资工具，不同证券之间有着复杂的相互影响。除了上面的结论以外，我们很难得到关
13、于最优组合的一般结论。 例如，如果 我们可以得知：对于某些n而言，an为正。但我们不能排除某些证券而言，an为负的可能性。这是因为除了期望收益以外，参与者也关心风险，特别是整个组合的风险。后面我们将会看到，有时卖空一只证券可以减少整个组合的风险，而这个好处超过了它的收益可能带来的好处。,8.4本章小结,1当且仅当证券市场不存在套利机会时，参与者的最优化问题有解。 2参与者的优化意味着： 该等式也称作Euler方程，它表示对于每一个交易证券来说，投资以获得未来消费对今天消费的相对边际效用全部等于1。,如果市场中除无风险以外只有一只风险证券，那么对于严格风险厌恶的消费者，在风险资产上的投资额与该风险资产的风险溢价同号。若风险溢价为正，则有： a(w)0; a(w)=0,当且仅当A(w)=0 a(w)0,当且仅当A(w)0; e(w)=1,当且仅当R(w)=0; e(w)1,当且仅当R(w)0。,如果市场中存在多只风险证券，当且仅当每只风险证券的风险溢价为零时，最优组合a=0。若某些风险证券的风险溢价不为零，则最优组合的期望收益率大于无风险收益率。,