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1、第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化,一、相似矩阵及其性质,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,2.1 相似矩阵及其性质,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,例如，,因为,P-1AP,所以AB .,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： A A 对称性：若AB，则BA 传递性：若AB，BC，则 AC,下页,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B，,A与B有相同的特征多项式，,|lE-B|,=|P-1(lE)P -P-1AP |,=|lE-P-1AP
2、|,=|P-1(lE-A)P|,=|P-1|lE-A|P|,=|lE-A|，,所以它们有相同的特征值.,下页,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,2.1 相似矩阵及其性质,相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) ) (2)相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| ) (3)相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) ),(4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.,下页,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.,易见，
3、,|A|=|B|，,且B-1=(P-1AP)-1,=P-1A-1(P-1)-1,=P-1A-1P .,注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似,反例,注意：单位矩阵只能和它自己相似,解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即,解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即 |A|=|D|12.,下页,例1. 若矩阵,相似，求x,y.,解得,例2. 设3阶方阵A相似于,求|A|.,定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.,必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)
4、使 P-1AP=L，,则有,可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .,因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.,证明：,= (l1 x1, l2 x2, , lnxn),2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,(Ax1, Ax2, , Axn),引理：n阶方阵Adiag(l1 , l2 , , ln）则l1 , l2 , , ln是A的特征值,充分性. 设x1，x2，xn为A的n个线性无关的特征向量， 它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则有 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .,令 P
5、=(x1, x2, , xn)，则,=(l1x1, l2x2, , ln xn),=A(x1, x2, , xn),=(Ax1, Ax2, , Axn),AP,=PL .,因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得 P-1AP=L， 即矩阵A与对角矩阵L相似.,下页,定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.,讨论： 根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L ？,提示：,设 1，2，n为A 的 n个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则取 P=(1
6、, 2, , n)， L=diag(l1 , l2 , , ln)。,下页,所以A与对角矩阵相似.,P-1AP,问题：若取P=(x2, x1)，问L=？,下页,推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.,注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件.,且有Ax1= -2x1， Ax2= -2x2， Ax3= 4x3，向量组是A的线性无关的特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有,P-1AP= diag(-2, -2, 4) .,下页,(1),解：(1) 矩阵A的特征方程为
7、,|lE - A|,矩阵A的特征值为 l1l2=1, l3 -1，,对于特征值l3=-1 ，解线性方 程组(-E-A)Xo，,对于特征值l1l2=1, 解线性 方程组(E-A)Xo，,=(l-1)2(l+1)=0，,(2),下页,例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P= L .,由于A有3个线性无关的特征 向量x1， x， x，所以A相似 于对角阵L .,所求的可逆矩阵为 P=(x1， x， x),对角阵为,满足 P-1 A P= L .,下页,(2),例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P= L .,(1),|lE
8、- B|,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵B的特征值为 l1l2=1, l32 .,对于特征值l1l2=1, 解线性方 程组(E-B)Xo，,对于特征值l3=2，解线性方 程组(2E-B)Xo，,显然， B不能相似于对角阵.,下页,(2),例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P= L .,解：(2) 矩阵B的特征方程为,(1),(1),(2),例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P= L .,由于B只有2个线性无关的特征向量1，所以不相似于对角阵。,思考： 矩阵和都有重特征值 为何相似于对角阵，而 不相似于对角阵
9、？,下页,解：由A和B相似可知，它们 的迹、行列式都相等，即,l1l2=2, l36 .,对于特征值l1l2=, 解线性 方程组(2E-A)Xo，,对于特征值l3=6，解线性方 程组(6E-A)Xo，,由于A和B相似，且B是一个,所以,下页,例4. 设矩阵A,B相似，其中,求x , y的值； 求可逆矩阵P，使P-1AP=B.,解得,对角阵，可得A的特征值为,解：由所给条件知矩阵A的 特征值为l11, l20, l3 -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征 值的特征向量.,容易验证a1, a2, a3是3阶方阵 A的3个线性无关的特征向量，,所以A相似于对角阵 Ldiag(1, 0, -1).,取P(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P= L ，所以 A = P L P -1,A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A .,下页,例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5.,作业,P128 5.（2）（3） P130 4, 5,