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1、第 3 章 多元线性回归,3.1 多元线性回归模型 3.2 回归参数的估计 3.3 参数估计量的性质 3.4 回归方程的显著性检验 3.5 中心化和标准化 3.6 相关阵与偏相关系数 3.7 本章小结与评注,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型的一般形式,y=0+1x1+2x2+pxp+,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型的一般形式,对n组观测数据 (xi1, xi2,xip; yi), i=1,2,n, 线性回归模型表示为:,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型的一般形式,写成矩阵形式为: y=X+, 其中,3.1 多元线性回归模型,二、多元线性回归模型的基本
2、假定,1. 解释变量x1,x2,xp是确定性变量,不是随机变量,且要求 rk(X)=p+1n。表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关, X是一满秩矩阵。,2 .随机误差项具有0均值和等方差,即,这个假定称为Gauss-Markov条件,3.1 多元线性回归模型,二、多元线性回归模型的基本假定,3. 正态分布的假定条件为:,用矩阵形式(3.5)式表示为:,N(0, s2In),yN(X, s2In),E(y)=X var(y)= s2In,3.1 多元线性回归模型,三、多元线性回归方程的解释,y表示空调机的销售量, x1表示空调机的价格, x2表示消费者可用于支配的收入。,y=0+1x1+2x2+
3、 E(y)=0+1x1+2x2,在x2保持不变时,有,在x1保持不变时,有,3.1 多元线性回归模型,三、多元线性回归方程的解释,考虑国内生产总值GDP和三次产业增加值的关系， GDP=x1 + x2+ x3,现在做GDP对第二产业增加值x2的一元线性回归， 得回归方程,3.1 多元线性回归模型,3.1 多元线性回归模型,三、多元线性回归方程的解释,建立GDP对x1和x2的回归，得二元回归方程,=2 914.6+0.607 x1+1.709 x2,你能够合理地解释两个回归系数吗 ？,3.2 回归参数的估计,一、回归参数的普通最小二乘估计,最小二乘估计要寻找,3.2 回归参数的估计,一、回归参数
4、的普通最小二乘估计,3.2 回归参数的估计,一、回归参数的普通最小二乘估计,经整理后得用矩阵形式表示的正规方程组,移项得,存在时，即得回归参数的最小二乘估计为：,3.2 回归参数的估计,二、回归值与残差,为回归值,称为帽子矩阵，其主对角线元素记为hii ，则,3.2 回归参数的估计,二、回归值与残差,此式的证明只需根据迹的性质tr(AB)=tr(BA),因而,3.2 回归参数的估计,二、回归值与残差,cov(e,e)=cov(（I-H）Y,（I-H）Y) =（I-H）cov(Y,Y)（I-H） =2（I-H）In（I-H）=2（I-H）,得 D(ei)=(1-hii)2，i=1,2,n,3.2
5、 回归参数的估计,二、回归值与残差,是2的无偏估计,3.2 回归参数的估计,三 、回归参数的最大似然估计,yN(X,2In),似然函数为,等价于使(y-X)(y-X)达到最小,这又完全与OLSE一样,3.2 回归参数的估计,例3.1 国际旅游外汇收入是国民经济发展的重要组成部分，影响一个国家或地区旅游收入的因素包括自然、文化、社会、经济、交通等多方面的因素，本例研究第三产业对旅游外汇收入的影响。中国统计年鉴把第三产业划分为12个组成部分，分别为x1农林牧渔服务业,x2地质勘查水利管理业,x3交通运输仓储和邮电通信业,x4批发零售贸易和餐饮业,x5金融保险业,x6房地产业,x7社会服务业,x8卫
6、生体育和社会福利业，x9教育文化艺术和广播,x10科学研究和综合艺术,x11党政机关，x12其他行业。采用1998年我国31 个省、市、自治区的数据，以国际旅游外汇收入（百万美元）为因变量y，以如上12 个行业为自变量做多元线性回归，数据见表3.1，其中自变量单位为亿元人民币。,3.2 回归参数的估计,3.3 参数估计量的性质,性质1 是随机向量y的一个线性变换。,性质2,是的无偏估计。,3.3 参数估计量的性质,3.3 参数估计量的性质,当p=1时,3.3 参数估计量的性质,性质4 Gauss-Markov定理,预测函数,是 的线性函数,Gauss-Markov定理 在假定E(y)=X, D
7、(y)=2In时,的任一线性函数 的最小方差线性无偏估计(Best Lnear Unbiased Estimator简记为BLUE)为c,其中c是任一p+1维向量, 是的最小二乘估计。,3.3 参数估计量的性质,第一，取常数向量c的第j（j=0,1,n）个分量为1，其余分量为0，这时G-M定理表明最小二乘估计是j的最小方差线性无偏估计。 第二，可能存在y1, y2 , , yn的非线性函数，作为 的无偏估计，比最小二乘估计 的方差更小。 第三，可能存在 的有偏估计量，在某种意义（例如均方误差最小）下比最小二乘估计 更好。 第四，在正态假定下， 是 的最小方差无偏估计。也就是说，既不可能存在y1
8、, y2 , , yn的非线性函数，也不可能存在y1, y2 , , yn的其它线性函数，作为 的无偏估计，比最小二乘估计 方差更小。,3.3 参数估计量的性质,性质5 cov（,，e）=0,此性质说明 与e不相关,在正态假定下等价于与e独立, 从而与 独立。,性质6 在正态假设,(1),(2),3.4 回归方程的显著性检验,一、F检验,H0:1=2=p=0,SST = SSR + SSE,当H0成立时服从,3.4 回归方程的显著性检验,一、F检验,3.4 回归方程的显著性检验,二、回归系数的显著性检验,H0j:j=0, j=1,2,p,（,（X）-1）,记 (X)-1=（cij) i,j=0
9、,1,2, ,p,构造t统计量,其中,3.4 回归方程的显著性检验,二、回归系数的显著性检验 （剔除x1),3.4 回归方程的显著性检验,二、回归系数的显著性检验,3.4 回归方程的显著性检验,二、回归系数的显著性检验,从另外一个角度考虑自变量xj的显著性。 y对自变量x1,x2,xp线性回归的残差平方和为SSE，回归平方和为SSR，在剔除掉xj后，用y对其余的p-1个自变量做回归，记所得的残差平方和为SSE（j），回归平方和为SSR（j），则 自变量xj对回归的贡献为SSR（j）=SSR-SSR（j）， 称为xj的偏回归平方和。由此构造偏F统计量,3.4 回归方程的显著性检验,二、回归系数的
10、显著性检验,当原假设H0j ：j=0成立时，（3.42）式的偏F统计量Fj服从自由度为(1,n-p-1)的F分布，此F检验与（3.40）式的t检验是一致的，可以证明Fj=tj2,3.4 回归方程的显著性检验,三、回归系数的置信区间,可得j的置信度为1-的置信区间为：,3.4 回归方程的显著性检验,四、拟合优度,决定系数为：,y关于x1,x2,xp的样本复相关系数,3.5 中心化和标准化,一、中心化,经验回归方程,经过样本中心,将坐标原点移至样本中心，即做坐标变换：,回归方程转变为：,回归常数项为,3.5 中心化和标准化,二、标准化回归系数,当自变量的单位不同时普通最小二乘估计的回归系数不具有可
11、比性，例如有一回归方程为:,其中x1的单位是吨, x2的单位是公斤,3.5 中心化和标准化,二、标准化回归系数,样本数据的标准化公式为：,得标准化的回归方程,3.5 中心化和标准化,二、标准化回归系数,标准化 回归系数,3.6 相关阵与偏相关系数,一、样本相关阵,自变量样本相关阵,增广的样本相关阵为：,3.6 相关阵与偏相关系数,一、样本相关阵,3.6 相关阵与偏相关系数,二、偏判定系数,当其他变量被固定后,给定的任两个变量之间的 相关系数,叫偏相关系数。 偏相关系数可以度量p+1个变量y,x1,x2, xp之中 任意两个变量的线性相关程度,而这种相关程度是在 固定其余p-1个变量的影响下的线
12、性相关。,3.6 相关阵与偏相关系数,二、偏判定系数,偏判定系数测量在回归方程中已包含若干个自变量时，再引入某一个新的自变量后y的剩余变差的相对减少量，它衡量y的变差减少的边际贡献。,3.6 相关阵与偏相关系数,二、偏判定系数,以x1表示某种商品的销售量， x2表示消费者人均可支配收入， x3表示商品价格。 从经验上看，销售量x1与消费者人均可支配收入x2之间应该有正相关，简单相关系数r12应该是正的。但是如果你计算出的r12是个负数也不要感到惊讶，这是因为还有其它没有被固定的变量在发挥影响，例如商品价格x3在这期间大幅提高了。反映固定x3后x1与x2相关程度的偏相关系数r12；3会是个正数。
13、,3.6 相关阵与偏相关系数,1两个自变量的偏判定系数,二元线性回归模型为：yi=0+1xi1+2xi2+i,记SSE（x2）是模型中只含有自变量x2时y的残差平方和， SSE(x1，x2)是模型中同时含有自变量x1和x2时y的残差平方和。因此模型中已含有x2时再加入x1使y的剩余变差的相对减小量为：,此即模型中已含有x2时，y与x1的偏判定系数。,3.6 相关阵与偏相关系数,1两个自变量的偏判定系数,同样地，模型中已含有x1时，y与x2的偏判定系数为：,3.6 相关阵与偏相关系数,2.一般情况,在模型中已含有x2,xp时，y与x1的偏判定系数为：,3.6 相关阵与偏相关系数,三、偏相关系数,
14、偏判定系数的平方根称为偏相关系数， 其符号与相应的回归系数的符号相同。,例3.2 研究北京市各经济开发区经济发展与招商投资的关系，因变量y为各开发区的销售收入（百万元），选取两个自变量， x1为截至1998年底各开发区累计招商数目， x2为招商企业注册资本（百万元）。 表中列出了至1998年底招商企业注册资本x2在5亿至50亿元的15个开发区的数据。,3.6 相关阵与偏相关系数,三、偏相关系数,北京开发区数据,3.6 相关阵与偏相关系数,三、偏相关系数,偏相关系数表,3.6 相关阵与偏相关系数,三、偏相关系数,用y与x1做一元线性回归时，x1能消除y的变差SST的比例为,再引入x2时，x2能消
15、除剩余变差SSE（X1）的比例为,因而自变量x1和x2消除y变差的总比例为,=1-(1-0.651)(1-0.546)=0.842=84.2%。,这个值84.2%恰好是y对x1和x2二元线性回归的判定系数R2,3.6 相关阵与偏相关系数,三、偏相关系数,对任意p个变量x1,x2,xp定义它们之间的偏相关系数,其中符号ij表示相关阵第i行第j列元素的代数余子式,验证,3.7 本章小结与评注,例3.3 中国民航客运量的回归模型。 y民航客运量(万人), x1国民收入(亿元), x2消费额(亿元), x3铁路客运量(万人), x4民航航线里程(万公里), x5来华旅游入境人数(万人)。 根据1994年统计摘要获得1978-1993年统计数据,3.7 本章小结与评注,3.7 本章小结与评注,3.7 本章小结与评注,3.7 本章小结与评注,