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1、,第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证明略 ),在闭
2、区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,上连续 , 且恒为正 ,例2. 设,在,对任意的,必存在一点,证:
3、,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,*三. 一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念 .,定义:,对任意的,都有,在 I 上一致连续 .,显然:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,但不一致连续 .,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在 ( 0 , 1 上不一致连续 .,定理.,上一致连续.,(证明略),思考: P73 题 6,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,2. 设,作业 P73 题 2 ; 3; 4,一点,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,