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1、第十二章 数项级数,第一节 级数的收敛性 第二节 正项级数 第三节 一般项级数,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,第一节 级数的收敛性,二 、级数的收敛与发散:,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,例3 讨论调和级数,的敛散性。,解：令,时，有,因此，取,，即得调和级数发散。,例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数,收敛。,证：,使得当,及对任意正整数,，有：,即证。,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证
2、明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,定义:,这种级数称为正项级数.,定理12.5,第二节 正项级数,一、正项级数收敛性的一般判别原则,证明,即部分和数列有界,定理12.6（比较原则）,不是有界数列,定理证毕.,比较原则的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,比较原则的极限形式:,证明,由比较原则的推论, 得证.,解,原级数发
3、散.,故原级数收敛.,二、比式判别法和根式判别法,定理12.7（比式判别法）设,为正项级数，且,存在某正整数,及常数,（2）若对一切,，成立不等式,则级数,发散。,证明,推论（比式判别法的极限形式）,收敛,发散,比式判别法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比式判别法失效, 改用比较原则,定理12.8（根式判别法）设,为正项级数，且,存在某正整数,及常数,（1）若对一切,，成立不等式,则级数,收敛；,（2）若对一切,，成立不等式,则级数,发散。,证明：由,推论（根式判别法的极限形式）,，当取,时，,有,由定理12.8即证。,例5 研究级数,的敛散性。,解： 由于,所以级数收敛。,注：此
4、时比式判别法失效。因为：,三、积分判别法,定理 12.9 设,为,上非负减函数，那么正,项级数,与反常积分,同时收敛或,同时发散。,证：由假设,为,上非负减函数，对任何正,数,在,上可积，从而有,依次相加可得,若反常积分收敛，则由上式左边，对任何正整数,有：,根据定理12.5，级数,收敛。,反之，若,为收敛级数，则由（1）式右边，,对任一正整数,有,因为,为非负减函数，故对任何正数,，都有,结合（2）式及定理11.2得反常积分,收敛。,同理可证它们同时发散。,例6 讨论P级数,的敛散性。,解：函数,，当,时在,上是非负,减函数，由第十一章知反常积分,在,时收敛，,时发散。故由定理12.9得,当
5、,时收敛，当,时发散，至于,的情,形，则可由定理12.1推论知它发散.,例7 讨论下列级数,的敛散性.,解:研究反常积分,由于,当,时收敛，,时发散。故由定理12.9得,(1)在,时收敛，,时发散.,对于(2),考察反常积分,同样可推,得级数(2)在,时收敛，,时发散。,思考题,思考题解答,由比较原则知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,第三节 一般项级数,一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法,一、交错级数及其判别法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,定理12.11(莱布尼茨),如果交错级数满足条件:,:,(,),),3,2,1,(,1,L
6、,=,+,n,u,u,n,n,;(,),则级数收敛,且,其余项,的绝对值,.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,例,1,判别级数,的收敛性,.,解,原级数收敛.,二、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,例,2,判别级数,的收敛性,.,解,故由定理知原级数绝对收敛.,绝对收敛级数的两个重要性质,1. 级数的重排,则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的,定理12.13 设级数,绝对收敛,且其和等于,和数.,注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到
7、发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：,2. 级数的乘积,设,为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：,这些乘积,可以按各种方法排成不同的级数，,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相,加，于是分别有：,和,定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对,收敛，则对（3）中所有乘积,按任意顺序排列,所得到的级数,也绝对收敛，且其和等于,三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法,引理（分部求和公式）设,为两组,实数，若令,则有如下分部求和公式成立：,证：以,分别乘以,整理后就得所要证的公式。,推论 （阿贝耳引理）若,（1）,是单调数组；,（2）对任一正整数,有,则记,时，有：,证：由（1）知,都是,同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得,以下讨论级数,的收敛性。,例3 若数列,具有性质:,则级数,和,对任何,都收敛.,解:因为,当,时,故得到,所以级数,的部分和数列当,时,有界,由狄利克雷判别法推得级数,收敛.,同理可证级数,也是收敛的.,特别地,级数,和,对一切,都成立.,四、小结,