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1、1,第2章 控制系统的数学模型,拉氏变换的基本概念及性质 系统微分方程的建立 传递函数概念及定义 控制系统的动态结构图 动态结构图的等效变换 控制系统在给定、扰动作用下的传递函数 典型环节的传递函数,2,概述,要分析、设计一个自动控制系统，首先要建立其数学模型，即建模。,控制系统的数学模型是描述系统在运动过程中各物理量之间相互关系的数学表达式。,数学模型有多种形式：时域中常用的有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、动态结构图；频域中有频率特性等。,本章只研究、讨论微分方程、传递函数和动态结构图的建立及应用。,3,2.1 拉普拉斯变换基本概念（复习）,1. 拉氏变换,4,2. 拉氏
2、变换的性质与定理,常用函数的拉氏变换,(1). 线性性:,5,（2）. 微分性质: 记Lf(t)=F(s),（3）. 积分性质: 记Lf(t)=F(s),6,（4）. 位移性质:记L f(t) =F(s),例: 求Le- ttm,（5）.延迟性质: 记L f(t) =F(s),则: Lf(t- )=e-s F(s),Letf(t)=F(s-),解: 因为,这表明,时间函数延迟 ，相当于它的象函数乘以指数因子e-s (滞后环节)。,7,（6）.初值定理 记Lf(t)=F(s),（7）.终值定理 记Lf(t)=F(s),解：,8,3.拉氏逆变换,定理：若S1，S2，Sn是函数F(s)的所有极点,则
3、原函数为,此方法较繁，一般用部分分式法求拉氏反变换。,例：求 的逆变换,9,解：用部分分式法得,其中,例：求 的逆变换,10,练习： (1)求 的原函数,解：,11,(2) 求 的原函数,通分后得,解：,12,2.2 系统微分方程的建立,建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理线路图画出系统方框（块）图，根据基本定理分别列写组成系统各元件的微分方程，然后消去中间变量，便得描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。,注意：,1. 信号传送的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件的输入。,2. 应注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。,13,在一般情况下，描述线性定常系统输出与输入间关
4、系的微分方程标准式如下：,式中,c(t)系统的输出(响应) r(t)系统的输入(激励),如下图所示为一R、L、C串联电路，试求以ur(t)为输入量，以uc(t)为输出量的网络微分方程。,例1.,ai、 bi是与系统结构和参数有关的常系数,14,解： 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫回路电压定律可得,消去中间变量i(t), 便得,15,K为弹簧系数，F1(为弹簧阻力)=Ky(t)，f为阻尼器阻尼系数，,阻尼器阻力,据牛顿运动定律得,16, 描述系统运动规律的微分方程为：,描述系统运动规律的传递函数为：二阶振荡系统,即,取拉氏变换有:,设y(0)=0,17,对于电枢控制的直流电动机系统：设电枢电压
5、ua为控制输入，电机轴的转速为输出，求其输入输出微分关系式。,电动机电磁转矩：,据刚体转动定律，电动机轴上转矩平衡方程式：,18,2.3 传递函数,控制系统的微分方程是在时间域内描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但当系统的结构或某个参数发生变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。,对系统的微分方程取拉氏变换，可得复数域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,19,1. 传递函数的定义,定义：线性定常
6、系统的传递函数定义为，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,设线性定常系统由下述n阶微分方程描述：,在零初始条件下，将上式两边取拉氏变换得：,20,则系统传递函数,传递函数是由相应的零、极点组成的。将传递函数因式分解后可得零、极点模型,上述为传递函数的多项式模型,式中 K1传递函数由零、极点模型表示的增益 （根轨迹增益） ； 表达式说明：有m个零点、n个极点；通常 这是由系统的物理性质决定的。,21,传递函数的极点就是 中分母部分等于零时的根，也就是微分方程对应的特征方程 的根；零点就是 分子表达式等于0时的根。,传递函数的零点和极点可以是实数，也可以是复数。,22,则
7、传递函数为：,取拉氏变换得：,在时域中，电感的电压 ，电容的电压 ，因此在s域(复数域)中，电感的感抗表示为 电容的容抗表示为 而电阻的复阻抗仍为R。,23,这样可用分压公式直接求出传递函数为,这种求解传递函数的方法，称为复阻抗法。用它求解电路网络的传递函数相当方便。,24,（1）. 传递函数的概念只适用于线性系统和线性元件。,（2）. 传递函数表征线性系统和线性元件的固有特性，而与输入信号的形式无关。,（3）. 由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。,（4）. 传递函数只表示了系统的端口关系，没有明确表示出系统内部的信息，要表示出系统内部变量的关系
8、，则需用状态空间法。,（5）. 一个 传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系；对于多输入多输出系统，可用传递函数阵描述，如下图所示。,2. 传递函数的性质,25,双输入双输出系统,输出输入之间关系用矩阵表示为：,即 C（s）= G（s）R（s）,26,对于一个复杂的控制系统，所列各环节的微分方程较多，消去中间变量的工作很麻烦，若利用动态结构图化简，来求取系统传递函数，则将使计算工作大大简化。,2.4 控制系统的动态结构图,控制系统的结构图表示了系统中各变量之间的因果关系，是控制理论中描述复杂系统的一种简便有效方法，它不仅适用于线性系统也适用于非线性系统。,1. 系统结构图的组成,27,控
9、制系统的结构图又称方框图，是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四种基本单元。,信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如下图(a)所示。,引出点：引出点表示信号引出或测量的位置，在同一位置引出的信号其数值大小和性质完全相同，见图(b)所示。,28,比较点：即综合点，表示对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加，“-”表示相减，通常“+”可省略不写,见图(c)所示。,方框（环节）：方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数,见图(d)所示。显然，方框的输出变量象函数等于方框的输入变量象函数与传递函数的
10、乘积。,C（s）= G（s）U（s）,29,2. 系统结构图的建立,建立系统动态结构图的主要步骤为：,首先考虑是否有负载效应，然后列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。,下面举例说明,2. 根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接，便得到系统的结构图。,3. 注意，一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示；而一个方框也可以代表几个部件或一个子系统。,30,例1. 已知两级RC滤波电路如图(1) 所示,试绘制该系统的动态结构图。,解：标注各元件电流、电压如图所示，利用复阻抗法并结合基本定律有：,31,依次将各元件的方框连接起来，便得系统结构图,图（2）两级RC电路方框图
11、,32,利用复阻抗法可方便的求得一级RC电路的传递函数,33,例2. 求运算放大电路的传递函数G(s)=UO(s)/Ui(s)。(运放器视为理想器件）,R0,C1,R1,ui,uo,解：利用复阻抗法及虚短和虚断的概念有：,34,2.5 动态结构图的等效变换,控制系统的动态结构图经过等效变换化简后，可方便地求取闭环系统的传递函数，或系统输出量的响应。,在结构图的等效变换、化简中，必须遵循如下两条基本原则。,1. 变换前后,前向通道传递函数的乘积应保持不变。,2. 变换前后,回路中传递函数的乘积应保持不变。,结构图的等效变换法则。,35,36,三、反馈联接,负号可在支路上移动,37,四、分支点和综
12、合点的变换,当系统较复杂时，即系统动态结构图中出现传输信号的相互交叉，为了求出总传递函数,需要对结构图中分支点和综合点进行等效结构变换。,G(s): 前向通道传递函数,2) 正反馈,G(s)H(s): 开环传递函数；,当H(s)=1时，为单位反馈,38,非单位反馈变为单位反馈,比较点（综合点、汇合点）前移,39,比较点（综合点、汇合点）后移,取出点前移,40,取出点后移,相邻的综合点可互换位置,41,框图化简注意事项:,相邻取出点可交换位置,取出点与综合点不能交换,42,例1. 利用动态结构图的等效变换法则，化简下图所示系统，并求出其闭环传递函数。,首先将A点后移,43,44,45,例2. 简
13、化如下框图 。, H2的取出点后移；,简化方法有:, H3的综合点前移；, H2的综合点后移;, H3的取出点前移；,46,47,48,用第种方法H3的取出点前移,得：,49,例3. 试简化系统结构图, 并求传递函数 C1(s)/R1(s), C2(s)/R1(s) , C1(s)/R2(s) , C2(s)/R2(s) 。,50,后移,51,令R2（s）=0，上图简化为图(a)，利用反馈 和串联运算得：,(a),反馈传函,52,前向通道,53,令R1(s)=0,反馈传函,前向通道,54,反馈传函,55,例4. 试简化系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s)。,1、2综合点后移,56,3,点
14、3分两路,57,为便于观察改画成下图,58,将综合点1、2、3合并为两个,59,利用基本法则求得传递函数为：,正向并联结构,反馈并联结构,框图化简的主要方法是：通过相加点或分支点的移动，消除交叉连接，使其构成独立小回路，以便利用串联、并联或反馈连接的公式求出系统传递函数。,60,例5,直接把c、d两点信号运算出来,61,梅逊公式,式中,系统闭环传递函数,从输入到输出的第k条前向通道总增益,梅逊公式特征式,1-（所有不同回路增益之和）+（所有两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+ ,第k条前向通道的余子式，即从中除去与第k条前向通道Pk相接触的回路后余下的部份。,
15、回路之间没有公共节点,62,例：前面已建立起了两级RC电路(图后页）动态结构图，试用梅逊公式求其传递函数,解：（1）写出所有不同回路的增益，共有三个,L1,L2,L3,L1 、L2为两两互不接触回路,没有三个互不接触的回路,（2）写出梅逊公式特征式,63,（3）写出前向通道Pk,从输入到输出只有一条前向通道，即k=1,（4）写出各项余子式k,1=1,64,用框图化简方法求解,65,前移,66,67,2.6 控制系统在给定、扰动作用下的传递函数,开环传递函数：,前向通道传递函数：,68,1. 在给定作用下的传递函数 N（s）=0,(b) 当N(s)=0时的结构图,给定作用下的闭环传递函数：,69
16、,给定作用下的偏差传递函数：,70,2. 在扰动作用下的传递函数 R（s）=0,71,-,扰动作用下的闭环传递函数：,扰动作用下的偏差传递函数：,-,+,72,3. 在给定和扰动同时作用下的输出及偏差函数,当系统同时受到R（s）和N（s）作用时，由叠加原理可求得系统总的输出与总的偏差为：,C（s）= CR（s）+ CN（s）；,E（s）= ER（s）+ EN（s）,注意：绝不允许 将各种闭环传递函数进行叠加后，求其输出响应。,73,1、比例环节,2.7 典型环节的传递函数,比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系，如下图的放大电路。,输出对输入的响应曲线,74,输出
17、方程表达式 传递函数 ，其中负号是由运放器反相输入端所决定。,比例环节传递函数(不考虑负号),75,2、惯性环节,忽略负号（或看成输出再串一个反相器），惯性环节传递函数为 ：,76,设输入为阶跃信号，即r(t)=b，,惯性环节时域特性曲线,取拉氏反变换得 ：,则输出响应：,77,3、积分环节,积分环节的输出量与输入量的积分成正比，传递函数：,积分环节将负号去掉，其数学模型写作：,T=RC：积分时间常数,78,4、微分环节,T=RC 为电路时间常数,当T1时，有,79,当输入为阶跃信号b时，即,环节的输出响应为,两边取拉氏反变换得：,微分环节对阶跃输入的响应曲线如下:,为脉冲输出,80,5、振荡环节（二阶）,传递函数型式为：,其中： 为自然振荡角频率， 为阻尼比,在第3章中，将专门讨论其特性,前面讨论过的RLC串联电路和机械振动系统，其传递函数都是二阶振荡环节。,81,6、纯迟后环节,纯迟后环节的特点是其输出信号比输入信号迟后一定时间，属于非线性环节。 ，当t时，C（t）=0,C(t)=r(t-),其传递函数为：,对c(t)表达式取拉氏变换有：,82,本章作业,2.1(a) 2.2(a) 2.3 2.4 2.6 2.7 2.8 2.9(a)、(b) 2.10 2.11(a) 2.12,