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1、,读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.,图1-1,图1-2,18.1勾股定理,SLQ,在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商
2、高定理”,史话勾股定理,勾股定理,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理的证明,证明方法1：数方格,（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。,正方形B的面积是 个单位面积。,正方形C的面积是 个单位面积。,16,16,9,25,你是怎样得到正方形c 的面积。,（图中每个小方格代表一个单位面积）,（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？,（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1-2中呢？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积,（3）分别以5厘
3、米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度,（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？,（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？,（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理的证明,证明方法2：拼三角形 同学们动手一起拼,利用拼图来验证勾股定理：,1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；,2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c正方形吗？拼一拼试试看?,3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？, c2= 4ab/2 +(b-a)2,=2ab+b2-2ab+a2
4、,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,c2,4ab/2-(b- a)2, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,(a+b)2,c2 +4ab/2,勾股定理的证明,证明方法3：赵爽弦图，动手拼图,勾股定理的证明,证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法,1.在RtABC中,A,B,C的对边 为a,b,c (1)已知a=6,b=8.则c= .,练习,10,20,12,注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长,(2)已知c=25,b=15.则a= .,(3
5、)已知c=19,a=13.则b= . (结果保留根号),(4)已知a:b=3:4,c=15,则b= .,在直角三角形中，已知两边可以求第三边,例1 如图，在RtABC中,BC=24,AC=7,求AB的长。,在RtABC中, 根据勾股定理,解：,例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm， (1)求高AD的长；(2)SABC,解：(1),ABC是等边三角形，AD是高,在RtABD中, 根据勾股定理,练习,1.在ABC中，C=90.,(1)若a=6，c=10，则b= ;,(2)若a=12，b=9，则c= ;,3.如图，在ABC中，C=90，CD为斜边AB上的高，你可以得出哪些与边有关的结论？,(3)
6、若c=25，b=15，则a= ;,20,2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。,b,a,8,15,A,49,B,2,1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：,学以致用，做一做,结论:,S1+S2+S3+S4,=S5+S6,=S7,学海无涯,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和,S1,S2,解： SE= 49,S1=SA+SB,S2=SC+SD, SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49,例3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？,4000,5000,课堂小结, 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.,勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。,作业,1.阅读课本P93-95.,2.P98 10,11,3.收集勾股定理的证明方法, 写一篇关于勾股定理的小论文,4.写一篇关于我国在数学史上的贡献 的小论文.,( 3 , 4 任选一项),