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1、1,导数的应用,一、求实际问题的最值,二、曲率,2,学习目标,1理解曲率、曲率圆、曲率半径的概念，掌握曲率、曲率半径的计算公式； 2会利用曲率半径解决解决简单的实际问题； 3会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题,3,重 点,难 点,1.曲率的概念及其计算 2.最值,1.曲率的计算 2.最值的计算,4,若函数f(x)在区间a,b在连续，则其最值只能在目标函数的导数为零的点(即驻点)或令导数不存在的点(即一阶不可导点)或端点处达到。,求实际问题中最值的方法:,(1)建立目标函数;,(2)若目标函数只有一个驻点（令导数为零的点），由实际问题的意义，最值一定存在，而驻点惟一，故此点就是我们所要求的
2、最值点。,一、求实际问题的最值,5,例1：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解：设房租为每月x元，,则租出去的房子有 套，,所以每月总收入为,6,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,7,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,例2：一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角 最大) ？,8,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最
3、佳站位存在 ,驻点惟一，因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚。,9,例3：在如图所示的电路中，已知电源电压为R，内阻为r, 求负载电阻R为多大时，输出功率最大？ （P123例11）,10,解：由电学知识知道，消耗在负载电阻R上的功率为,求得其导数为,11,令,得,故,由于在区间（0，+）内函数P只有一个驻点R=r， 所以当R=r时输入功率最大。,12,二、曲率,平面曲线的曲率反映曲线的弯曲程度.,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,曲率的计算公式,当曲线的方程为,当曲线的方程为,1. 曲率的定义与计算公式,13,解：,即直线的曲率处处为零,讲解例题,14,例5： 计算半径为R的圆上任一
4、点的曲率,所以,解 由于圆的参数方程为,（本题比较简单，自己代入计算）,即圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,讲解例题,15,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,注,16,例6：,解：,显然,为抛物线的顶点, 抛物线在顶点处的曲率最大.,K最大.,17,在点M 处的曲线的法线上凹的一侧取一点D 使,以D为圆心、为半径作圆 这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆 曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心 曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径。,2、曲率圆与曲率半径,18,所以某点处的曲率K与此点处的曲率半径的关系为,这说明曲线上
5、一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,19,解：先求出,所以,故当砂轮直径不超过 时，才不会产生过量磨损或有的地方磨不到的问题。,讲解例题,20, 抛物线顶点处的曲率半径为,故选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长,例8： 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 由于,讲解例题,所以,21,解,要使K(t)最小,等价于,最大,故当,即,曲率最小,且,思考题,22,小 结,你能总结一下本讲的主要内容吗？,23,祝你学习进步！,祝你工作愉快！,