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1、6.4 非线性方程组的数值解法,6.4.3 非线性方程组的Newton法,6.4.2 非线性方程组的Newton法,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,1.2,学习目标：,设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为 (6,4,1) 其中 为n维列向量，,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,中至少有一个是x的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。,把它写成等价形式,函数也称映射
2、，若函数 的定义域为 ，则可用映射符号 简便地表示为 。为了讨论不动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。,定理6.7（Brouwer不动点定理）若 在有界凸集 上连续并且映内，则 在内 存在不动点。,定理6.8（压缩映射定理）设函数 在闭集 上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为L，则（1） 在 上存在唯一的不动点 。 （2）对任何初值 迭代法（6.4.3）生成的序列 且收敛到 ，并且有误差估计式,证：首先容易算出，对于任何 ，都有 因此，迭代函数 在 上是映内的。进而，对于任何 都有,定义6.4 设 为 的不动点，若存在 的一个领域 ，对一切 ， 由（
3、6.4.3）式产生的序列 且 ，则称 具有局部收敛性。,得知 ，从而有 。于是，由定义6.4知 迭代法（6.4.3）在点 处局部收敛。定理得证。 与单个方程的情形类似，有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性,定理6.10 设 ， 在D内有一不动点 ，且 在 处可导，且谱半径 ，则迭代法（6.4.3）在点 处局部收敛，其中，函数 的导数为Jacobi矩阵（见*式） 利用谱半径与范数的关系 ，我们可用 代替定理6.10中的条件,（*）,例如，对于例6.11有 对于例6 .12所取的区域 的不动点 在它的内部。容易验 证，在 上有 ，因此，迭代法（6.4.5）在点 处局部收敛。,对于非线性
4、方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法。设 是方程组（6.4.1）的解， 是方程组的一个近似解。用点 处的一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值 ，有,6.4.2 非线性方程组的Newton法,例6.13 用Newton法解例6.11的方程组（6.4.4） 解 对该方程组有 取初始向量 ，解方程组 ，即,关于Newton法的收敛性，有下面的局部收敛性定理,定理6.11 设 ， 满足 。若有 的开邻域 ， 在其上连续， 可逆，则,其中的参数 称为阻尼因子， 称为阻尼项，解出 后，令 。加进阻尼项的目的，是使线性方程的系数矩阵非奇异并良态。当 选的很合适时，阻尼Newton法时线性收敛的。,6.4.3 非线性方程组的Newton法,