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1、1,概率论与数理统计 第19讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,第五章 大数定律与中心极限定理,3,切贝谢夫不等式,设随机变量X有期望值E(X)及方差D(X), 则任给e0, 有,4,示意图,5,证 如X是离散型随机变量, 那么,6,如果X是连续型随机变量, Xf(x), 则,7,例 设X是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|X-E(X)|e), 并验证切贝谢夫不等式成立.,8,解 因P(X=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6),9,验证切比雪夫不等式,10,例1 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼
2、此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,11,解 令X为同时开灯的数目, 则Xb(10000, 0.7),12,可见只要有供应7200盏灯的电力就够用.,13,大数定律的概念,例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率接近1/6是必然的.,14,例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于a几乎是必然的.,15,算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试
3、验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量X1,X2,.,Xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值,16,17,虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.,18,这就让人想到极限的概念. 但是, 传统的极限定义在这里遇到了麻烦. 传统的一个数列an的极限是定义为, 任给一个非常小的实数e, 存在着一个正数N, 当nN时, |an-a|e.,19,但概率不行. 比如说虽然掷硬币试验次数增加时频率将趋于0.5, 但无论试验多少回, 次次正面
4、向上的机会都是存在的.,20,因此, 人们就尝试其它的定义有关随机变量的极限的办法. 比如说均方收敛. 大家知道当一个随机变量的方差为0时, 这个随机变量实际上就是一个常数.,21,一组相互独立同分布的期望为m方差为s2随机变量, 它们的n个变量的算术平均值的期望和方差为,22,可见当随着试验次数增加, n次试验的算术平均值的数学期望将保持不变, 而其方差则随着n的增加而减少, 趋向于0, 因此可以认为算术平均值将趋向于一个常数, 即随机变量的期望.,23,由此定义出, 当一列随机变量的方差趋向于0的时候, 如果它们的数学期望不变为m, 则称为这组随机变量均方收敛于数学期望m, 记作,24,而
5、切贝谢夫不等式又建立了方差与概率的关系, 将不等式中的X替换为Yn得,25,由此可见, 如果D(Yn)趋向于0, 则Yn落在其期望m周围的任意一个小区间(m-e,m+e)内的概率就趋向于1, 因此人们就将这样的情况称做依概率收敛.,26,定义 若存在常数a, 使对于任何e0, 有,27,定理(辛钦大数定律) 如果X1,X2,.是相互独立并且具有相同分布的随机变量, 有E(Xi)=a (i=1,2,.), 则有,这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通常就是数学期望.,28,定理(贝努里大数定律) 在独立试验序列中, 当试验次数n无限增加时, 事件A发
6、生的频率X/n(X是n次试验中事件A发生的次数)满足,29,这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋向于概率.,30,中心极限定理,中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理, 它原来叫中心极限定律.,31,对中心极限定理, 只需要记住这样一个描述就行: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要它们的方差大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的随机变量, 就近似服从正态分布.,32,正态分布的概率密度的图形,33,二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当Xb(20,0.5)时,
7、 X的概率分布图,34,普阿松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候普阿松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的普阿松概率分布图.,35,在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随机变量的和, 因此也近似服从正态分布. 下面是c2(60)的概率密度曲线.,x,0,60,120,36,例 一个螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是一两, 标准差是0.1两. 求一盒(100个)螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.,37,解 设一盒重量为X, 盒中第i个螺丝钉的重量为Xi, (i=
8、1,2,.,100). X1,.,X100相互独立,38,39,例 对敌人的防御地段进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其期望值为2, 方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗到220炸弹命中目标的概率.,40,解 令第i次轰炸命中目标的次数为X, 100次轰炸命中目标次数X=X1+X2+.+X100. E(X)=200, D(X)=169, 近似有XN(200, 132),41,拉普拉斯定理 设Xb(n,p),42,拉普拉斯定理 设Xb(n,p),43,例 10部机器独立工作, 每部停机的概率为0.2. 求3部机器同时停机的概率.,44,解 10部机器中同时
9、停机的数目Xb(10,0.2),45,46,例 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,47,解 开着的灯数XB(10000,0.7),48,例 产品为废品的概率为p=0.005, 求10000件产品中废品数不大于70的概率.,49,解 10000件产品中的废品数Xb(10000,0.005),50,例 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01, 求500发炮弹中命中5发的概率.,51,解 命中飞机的炮弹数目Xb(500,0.01),52,53,54,作业 习题 4-4 第73页开始 第3, 5, 11, 17, 20题,