《第6章多重共线性的情形及其处理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6章多重共线性的情形及其处理.ppt（41页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第6章 多重共线性的情形及其处理,6 .1 多重共线性产生的背景和原因 6 .2 多重共线性对回归模型的影响 6 .3 多重共线性的诊断 6 .4 消除多重共线性的方法 6 .5 主成分回归 6 .6 本章小结与评注,第六章 多重共线性的情形及其处理,如果存在不全为0的p+1个数c0,c1,c2,cp ,使得 c0+c1xi1+c2xi2+cpxip=0 , i=1,2,n （6.1） 则称自变量x1,x2,xp之间存在着完全多重共线性。 在实际经济问题中完全的多重共线性并不多见，常见的是（6.1）式近似成立的情况，即存在不全为0的p+1个数c0,c1,c2,cp ,使得 c0+c1xi1+c
2、2xi2+cpxip0 , i=1,2,n（6.2） 称自变量x1,x2,xp之间存在着多重共线性 (Multi-collinearity),也称为复共线性。,6.1多重共线性产生的经济背景和原因,当我们所研究的经济问题涉及到时间序列资料时,由于经济变量随时间往往存在共同的变化趋势,使得它们之间就容易出现共线性。 例如, 我们要研究我国居民消费状况,影响居民消费的因素很多,一般有职工平均工资、农民平均收入、银行利率、全国零售物价指数、国债利率、货币发行量、储蓄额、前期消费额等,这些因素显然既对居民消费产生重要影响,它们之间又有着很强的相关性。,6.1多重共线性产生的经济背景和原因,许多利用截面
3、数据建立回归方程的问题常常也存在自变量高度相关的情形。 例如,我们以企业的截面数据为样本估计生产函数,由于投入要素资本K,劳动力投入L,科技投入S,能源供应E等都与企业的生产规模有关,所以它们之间存在较强的相关性。,6.2 多重共线性对回归模型的影响,设回归模型 y=0+1x1+2x2+pxp+ 存在完全的多重共线性,即对设计矩阵X的列向量存在不全为零的一组数c0,c1,c2,cp ,使得 c0+c1xi1+c2xi2+cpxip=0 , i=1,2,n 设计矩阵X的秩rank（X） p+1，此时|xx|=0，正规方程组的解不唯一，（xx）-1不存在，回归参数的最小二乘估计表达式 不成立。,6
4、.2 多重共线性对回归模型的影响,对非完全共线性, 存在不全为零的一组数c0,c1,c2,cp ,使得 c0+c1xi1+c2xi2+cpxip0 , i=1,2,n,6.2 多重共线性对回归模型的影响,我们做y对两个自变量x1,x2的线性回归,假定y与x1,x2都已经中心化，此时回归常数项为零，回归方程为,6.2 多重共线性对回归模型的影响,6.2 多重共线性对回归模型的影响,6.2 多重共线性对回归模型的影响,当给不同的r12值时,由表6.1可看出方差增大的速度。 为了方便，我们假设2/L11=1,相关系数从0.5变为0.9时,回归系数的方差增加了295%,相关系数从0.5变为0.95时,
5、回归系数的方差增加了670%。,6.2 多重共线性对回归模型的影响,在例3.3中,我们建立的中国民航客运量回归方程为： =450.9+0.354x1-0.561x2-0.0073x3+21.578x4+0.435x5 其中：y民航客运量(万人), x1国民收入(亿元), x2消费额(亿元), x3铁路客运量(万人), x4民航航线里程(万公里), x5来华旅游入境人数(万人)。 5个自变量都通过了t检验，但是x2的回归系数是负值，x2是消费额，从经济学的定性分析看，消费额与民航客运量应该是正相关，负的回归系数无法解释。问题出在哪里？这正是由于自变量之间的复共线性造成的。,6.3 多重共线性的诊
6、断,一、方差扩大因子法,对自变量做中心标准化，则X*X*=(rij)为自变量的相关阵。记 C=(cij)=(X*X*)-1 (6.5) 称其主对角线元素VIFj=cjj为自变量xj的方差扩大因子(Variance Inflation Factor,简记为VIF)。根据（3.31）式可知，,其中Ljj是xj的离差平方和，由（6.6）式可知用cjj做为衡量自变量xj的方差扩大程度的因子是恰如其分的。,6.3 多重共线性的诊断,6.3 多重共线性的诊断,6.3 多重共线性的诊断,6.3 多重共线性的诊断,经验表明,当VIFj10时,就说明自变量xj与其余自变量之间有严重的多重共线性,且这种多重共线性
7、可能会过度地影响最小二乘估计值。 还可用p个自变量所对应的方差扩大因子的平均数来度量多重共线性。当,远远大于1时就表示存在严重的多重共线性问题。,6.3 多重共线性的诊断,6.3 多重共线性的诊断,以下用SPSS软件诊断例3.2中国民航客运量一例中的多重共线性问题。,6.3 多重共线性的诊断,二、特征根判定法,（一）特征根分析,根据矩阵行列式的性质，矩阵的行列式等于其特征根的连乘积。因而，当行列式|XX|0时, 矩阵XX至少有一个特征根近似为零。反之可以证明，当矩阵XX至少有一个特征根近似为零时，X 的列向量间必存在复共线性，证明如下：,6.3 多重共线性的诊断,记X =（X0 ，X1，Xp）
8、，其中 Xi为X 的列向量， X0 =（1，1，1）是元素全为1的n维列向量。 是矩阵XX的一个近似为零的特征根，0 c=(c0,c1, ,cp)是对应于特征根的单位特征向量，则 XX c=c0,6.3 多重共线性的诊断,上式两边左乘c，得 cXX c0 从而有 X c0 即 c0X0 +c1X1+cp Xp0 写成分量形式即为 c0+c1xi1+c2xi2+cpxip0 , i=1,2,n 这正是（6.2）式定义的多重共线性关系。,6.3 多重共线性的诊断,（二）条件数,特征根分析表明，当矩阵XX有一个特征根近似为零时，设计矩阵X 的列向量间必存在复共线性。那么特征根近似为零的标准如何确定哪
9、？这可以用下面介绍的条件数确定。记XX的最大特征根为m，称,为特征根i的条件数（Condition Index）。,6.3 多重共线性的诊断,0k10时,设计矩阵X没有多重共线性; 10k100时,认为X存在较强的多重共线性; 当k100时,则认为存在严重的多重共线性。,用条件数判断多重共线性的准则,6.3 多重共线性的诊断,对例3.2中国民航客运量的例子，用SPSS软件计算出 特征根与条件数如下：,6.3 多重共线性的诊断,方差比例是用于判断哪几个自变量之间存在共线性的。实际上共线性关系可以根据（6.9）式直接从特征向量看出来，只是SPSS软件在线性回归模块中没有输出特征向量阵。 把特征向量
10、按照特征值由大到小排成行向量，每个数值平方后再除以特征值，然后再把每列数据除以列数据之和，使得每列数据之和为1，这样就得到了输出结果6.2的方差比。 再次强调的是线性回归分析共线性诊断中设计阵X包含代表常数项的一列1，而因子分析模块中给出的特征向量是对标准化的设计阵给出的，两者之间有一些差异。,6.3 多重共线性的诊断,（三）直观判定法 1.当增加或剔除一个自变量,或者改变一个观测值时,回归系数的估计值发生较大变化。 2.从定性分析认为,一些重要的自变量在回归方程中没有通过显著性检验。 3.有些自变量的回归系数所带正负号与定性分析结果违背。 4.自变量的相关矩阵中,自变量间的相关系数较大。 5
11、.一些重要的自变量的回归系数的标准误差较大。,6.4 消除多重共线性的方法,一、剔除一些不重要的解释变量,在剔除自变量时,可以将回归系数的显著性检验、方差扩大因子VIF以及自变量的经济含义结合起来考虑，以引进或剔除变量。,6.4 消除多重共线性的方法,6.4 消除多重共线性的方法,6.4 消除多重共线性的方法,6.4 消除多重共线性的方法,二、增大样本容量,例如, 由（6.3）式和（6.4）式,可以看到,在r12固定不变时，当样本容量n增大时,L11和L22都会增大，两个方差均可减小，从而减弱了多重共线性对回归方程的影响。,6.4 消除多重共线性的方法,三、回归系数的有偏估计,消除多重共线性对
12、回归模型的影响是近30年来统计学家们关注的热点课题之一,除以上方法被人们应用外,统计学家还致力于改进古典的最小二乘法,提出以采用有偏估计为代价来提高估计量稳定性的方法,如： 岭回归法 主成分回归法 偏最小二乘法等。,6.5 主成分回归,主成分分析（Principal Components Analysis,简记为PCA）是多元统计分析的一个基本方法，是对数据做一个正交旋转变换，也就是对原有变量做一些线性变换，变换后的变量是正交的。为了避免变量的量纲不同所产生的影响，要求先把数据做中心标准化，中心标准化后的自变量样本观测数据矩阵（即设计阵）就是n行p列的矩阵， 就是相关阵。,6.5 主成分回归,
13、以例3.3民航客运量的数据为例,6.5 主成分回归,6.5 主成分回归,现在用y对前两个主成分Factor1和Factor2做普通最小二乘回归，得主成分回归回归方程：,不过以上回归方程的自变量是用两个主成分Factor1和Factor2表示的，应该转换回到用原始自变量表示的回归方程。,6.5 主成分回归,分别用两个主成分Factor1和Factor2做因变量，以5个原始自变量做自变量做线性回归，所得的回归系数就是所需要的线性组合的系数。得到,6.5 主成分回归,还原后的主成分回归方程为：,每个回归系数的解释也都合理。,6.5 主成分回归,载荷矩阵,6. 6 本章小结与评注,当解释变量之间的简单相关系数很大时,可以断定自变量间存在着严重的多重共线性；但是一个回归方程存在严重的多重共线性时,解释变量之间的简单相关系数不一定很大。例如假定3个自变量之间有完全确定的关系,再假定x2与x3的简单相关系数r23=-0.5，x2与x3的离差平方和L22=L33=1，此时,6. 6 本章小结与评注,同理 r13=0.5,