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1、第一节 微分方程的一般概念,一、引例 二、微分方程的一般概念,例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方,求此曲线的方程.,一、引例,解,把(1)式两端求不定积分,得,其中C为任意常数,把条件(2)代入(3)式,得,即,于是,所求曲线方程为,例2 设有一质量为m的物体，从空中某处由静止状态自由降落，不计空气阻力而只受重力作用.试求物体的运动规律(即物体在自由降落过程中，所经过的路程s与时间t的函数关系).,解,二、微分方程的一般概念,1.微分方程及微分方程的阶,含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；,未知函数是一元函数的微分方程，称为常
2、微分方程;,未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；,(1)和(5)式均是微分方程.,微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.,微分方程(1)是一阶的，微分方程(5)是二阶的.,能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.,2.微分方程的解、通解与特解,不包含任意常数的解为微分方程特解.,如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.,3.微分方程的初值条件及其提法,当自变量取定某个特定值时,给出未知函数及其导数的已知值,这种特定条件称为,称为微分方程的初值条件(或初始条件).,初值条件的提法：当x=x0时y=y0,其中 都是已知值,同理可知，二阶微分方城需给出的 初值条件是,当x=x0时y=y0,记作,或,其中 都是已知值。,微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线.,4.微分方程的解的几何意义,例3,解,