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1、1,第一章 行列式 (determinant),第三次课,2,目录,3 n级行列式的性质,4 行列式按一行（列）展开,3,3 n级行列式的性质,性质1：行列互换不变，或转置不变,4,3 n级行列式的性质,性质2：行列式按行列的线性性,1. 行列式的一行乘以某一常数等于行列式的值乘此常数,5,3 n级行列式的性质,2. 如行列式的一行是两组数的和，它的值是这两组数拆 开后两个行列式值之和,6,3 n级行列式的性质,性质3：互换任意两行行列式反号,性质4：任意两行相同的行列式为零,性质5：一行为另一行之数倍行列式为零,性质6：一行(列)之数倍加到另一行(列)不改这 行列式的值,7,4 行列式按一行
2、（列）展开,定义：在n级行列式,划去元素 所在的第i行与第j列，剩下的元素按 原相对次序排列成的一个n-1级行列式,中，,8,4 行列式按一行（列）展开,称为元素 的余子式(complementary minor),称,为元素 的代数余子式,(complementary algebraic minor)。,9,4 行列式按一行（列）展开,定理：行列式按它的第i行展开,10,4 行列式按一行（列）展开,这一定理的证明可以有两条条途径： 由行列式的性质2.2，将第i行拆分成n组，第j 组一个非零的元 ； 比较等式两边的各项，确定它们相同（数值与 符号）；,11,4 行列式按一行（列）展开,在前面讨
3、论三元一次线性方程组引出 行列式时，实际上已经用了,12,4 行列式按一行（列）展开,其中,这意味着，一个三级的行列式可以由二级行 列式的代数和表示，其中“组合”的系数全部取自 第三行，而相应的二级行列式的元素取自与“系 数”不同的行与列。,13,4 行列式按一行（列）展开,按行列式的“性质3”,我们现在考察等号右边的第j个行列式,14,4 行列式按一行（列）展开,通过 (n-i) 个行交换与 (n-j) 个列交换不难证明：,我们将后面的行列式记为 Dij=(bij), 按定义这个 行列式是：,15,4 行列式按一行（列）展开,注意：,是第n行唯一的非零项，因此,那么：,因此：,16,4 行列
4、式按一行（列）展开,现在考察行列式,与,17,4 行列式按一行（列）展开,除第 i 行外，行列式E与D相同，我们将E按 第i行展开，得到,当E的第i行就是D的第i行时，E=D；当E的第i行 是D的第k(i)行时，E=0，因为它有两个相同的 行，总结起来有如下定理：,18,4 行列式按一行（列）展开,定理：设n级行列式,的代数余子式，则,，Aij表示aij,（对列展开）,（对行展开）,19,4 行列式按一行（列）展开,行列式的另一个定义方式：,定义：（行列式的定义之2，递归定义）：,，它们排成n行n,假设有n2个数,列记成,，称为n级行列式。,20,4 行列式按一行（列）展开,是行列式第i行第j列的数或元，当n=1时行,列式,；,假设n-1时已经定义了n-1阶行列式,的运算规则，那么n时,其中，,是D划去元素第1行与第j列所余的n级行列式,元素构成的n-1级行列式。,21,第三次课作业 P28: 9(2)(4), 10(1), 11(1)(3) 思考10(2), 12(1)(3),